FORMES GÉOMÉTRIQUES. I

lions (n^'2, 3); en effet, si l'on projette, d'un centre 0, un plan ponctuel ou réglé, on obtient une gerbe; et, réciproque ment, si l'on coupe une gerbe par un plan transversal, on obtient un plan ponctuel ou réglé. Deux figures planes pfojec tives ( n° 9) sont deux sections d'une même gerbe. / ^

24. Les éléments de la ponctuelle sont les points; ceux du faisceau de plans, les plans; ceux du faisceau de rayons, les droites ou rayons.

Dans le système plan, on peut considérer comme éléments les points aussi bien que les droites. En considérant les points comme éléments, les droites du plan ponctuel sont autant de ponctuelles; si, au contraire, on considère les droites (rayons) comme éléments, les points du plan réglé sont les centres d'autant de faisceaux de rayons.

Le plan ponctuel (où les éléments sont les points) contient donc une infinité de ponctuelles ('), et le plan réglé (dont les éléments sont les rayons) contient une infinité dejfrayons ('

Dans la gerbe on peut considérer comme éléments les plans aussi bien que les droites ou rayons. En prenant comme éléments les plans, les droites de la gerbe sont les axes d'autant de faisceaux de plans; au contraire, si l'on considère les droites comme éléments, les plans de la gerbe sont autant de faisceaux de rayons.

La gerbe contient donc une infinité de faisceaux de plans ou une infinité de faisceaux de rayons, suivant que Ton considère comme éléments les plans ou les droites.

25. L'espace à trois dimensions (qu'il soit étendu à l'infini, ou que ce soit une portion limitée de l'espace infini) peut aussi être considéré comme une figure géométrique, dont les éléments sont les points ou les plans.

En prenant les points comme éléments, les droites de l'espace sont autant de ponctuelles et les plans de l'espace

(*) Une d'elles a tous ses points à distance infinie, chacune des autres a un seul point à l'infini (nos 10 et 1 1).

(*) La droite à l'infini appartient à une infinité de faisceaux de rayons, dont chacun a son centre à l'infini et a tous ses rayons parallèles, par conséquent.

20 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

autant de plans ponctuels. Au contraire, si l'on considère les plans comme éléments, les droites de l'espace sont les axes d'autant de faisceaux de plans et les points de l'espace sont les centres d'autant de gerbes. L'espace renferme donc une infinité de plans ponctuels (') ou une infinité de gerbes (^), suivant que l'on prend comme éléments pour le construire le point ou le plan.

26. Les trois premières figures, c'est-à-dire la ponctuelle, le faisceau de plans et le faisceau de rayons, qui jouissent de la propriété de pouvoir se déduire l'une de l'autre au moyen d'une des opérations (n°^ 2, 3,...), sont réunies sous une même dénomination, celle de formes géométriques fondamentales de première espèce,

La quatrième figure et la cinquième, c'est-à-dire le plan ponctuel ou réglé et la gerbe, qui se déduisent également l'une de l'autre au moyen d'une des opérations ( n«^ 2, 3) et qui ont, en outre, la propriété de renfermer en elles une infinité de formes fondamentales de première espèce, sont î^\i\iQ- \Q(ts formes géométriques fondamentales de deuxième espèce.

L'espace qui renferme en soi une infinité de formes de deuxième espèce est considéré dommQ forme fondamentale de troisième espèce,

11 y a donc six formes géométriques fondamentales, trois de première espèce, deux de deuxième et une de troisième

espèce.

§ VL — Principe de dualité.

27. La Géométrie, en général, étudie la génération et les propriétés des figures contenues : i° dans l'espace à trois dimensions; 2° dans un plan; 3° dans une gerbe. Dans les trois cas, la figure considérée n'est autre chose qu'un complexe d'éléments, ou, ce qui revient au môme, le complexe des positions successives occupées par un élément mobile ou variable. L'élément mobile qui engendre les figures peut être

(') Un d'eux est tout entier à distance infinie.

(*) Parmi lesquelles il y en a une infinité qui ont leur centre à distance infinie et dont, par conséquent, les rayons sont parallèles.

PRINCIPE DE DUALITÉ

:ai

dans le premier cas le point ou le plan, dans le deuxième le point ou la droite, dans le troisième le plan ou la droite. Il y a donc toujours deux modes corrélatifs ou réciproques de génération des figures et de déduction de leurs propriétés, et c'est en cela que consiste la dualité géométrique qui est la coexistence deux à deux des figures (et par suite de leurs propriétés), deux figures coexistantes (corré/a/fVe5 o?/ réciproques) ayant la même genèse et ne différant entre elles que par la nature de l'élément générateur.

Dans la Géométrie de l'espace à trois dimensions, la ponctuelle et le faisceau de plans, le plan ponctuel et la gerbe considérés comme formés de plans, le plan réglé et la gerbe considéré&^comme formé^de rayons, sont des formes corrélatives. Le faisceau de rayons est une forme corrélative à ellemême.

Dans la Géométrie du plan, la ponctuelle et le faisceau de rayons sont des formes corrélatives.

Dans la Géométrie de la gerbe, le faisceau de plans et le faisceau de rayons sont des formes corrélatives.

La Géométrie duplan etlaGéométriede la gerbe, considérées dans l'espace à trois dimensions, sont corrélatives entre elles.

28. Voici quelques exemples de propositions corrélatives de la Géométrie de l'espace. Deux propositions corrélatives se déduisent l'une de l'autre par le remplacement des éléments point eA plan.

i" Deux points A, B déterminent une droite (la droite AB, qui passe par les points donnés) qui contient une infinité d'autres points.

'1° Une droite a et un point B, non situé sur la droite, déterminent un plan, le plan<7B qui joint la droite au point.'

3° Trois points A, B, C, non situés en ligne droite, déterminent un plan : le plan ABC qui passe par les trois points.

4° Deux droites qui ont un point commun sont dans un môme plan.

Deux plans a, [3 déterminent une droite (la droite a(5, intersection des plans donnés ) par laquelle passent une infinité d'autres plans.

Une droite a et un plan p, ne passant pas par la droite, déterminent un point, le point ap oùh droite coupe le plan.

Trois plans a, p, 7, qui ne passent pas par une même droite, déterminent un point : le point afy, où les trois plans se coupent.

Deux droites tracées dans un même plan ont un point commun.

5° Étant donnés quatre points A, B, C, D, si les droites AB, CD se coupent, les quatre points sont dans un môme plan; par suite, les droites BC et AD, CA et BD, se coupent aussi.

6" Si autant de droites que l'on veut se coupent deux à deux, et ne passent pas toutes par un même point, elles sont toutes dans un même plan (droites d'un plan réglé)C).

7° Le problème suivant : « Par un point A, donné dans un plan a, tracer dans ce plan une droite qui coupe une droite donnée r (qui ne se trouve pas dans a et ne passe pas par A », admet deux solutions corrélatives : ...

rROJECTIVE.

Étant donnés quatre plans a, ^, 7,(î, si les droites a[5,7(? se coupent, les quatre plans concourent en un môme point; par suite, les droites £7 et a^, 7a et 6^1 se coupent aussi.

Si autant de droites que l'on veut se coupent deux à deux, et ne sont pas toutes dans un même plan, elles passent toutes par un mômepoint(droites d'une gerbe) (^).

On joint le point A au point râ. "i

8° Problème. — Par un point donné A, mener une droite qui coupe deux droites données ^, c (non situées dans un même plan et ne passant pas par A).

^ Solution. — On construit l'intersection des plans kb, kc.

: On construitl'intersectionduplan a et du plan rk.

Problème. — Dans un plan donné a, tracer une droite qui coupe deux droites données b, c (qui n'ont pas .. un point commun, et ne sont pas si- ^. tuées dans le plan a).

Solution. — On joint le point y.b au point ac.

29. Dans la Géométrie à trois dimensions, la figure corrélative d'un triangle (système de trois points) est un trièdre (système de trois plans) : le sommet, les faces, les arêtes du trièdre sont corrélatifs au plan, aux sommets, aux côtés du triangle; d'où il suit que le théorème corrélatif à celui du \\° Jo sera celui-ci :

Si deux Irièdres «'[^'7', a" [5" 7" jouissent de la ptopriété que les arêtes fi'7' et f/'7", et 7' a' et 7"a", a'&' et a"[3" se trouvent dans trois plans ^oî P01 7o? qui passent par une même droite, les droites a'a", ^'(S", 7*7" sont situées dans un môme plan.

La démonstration est la même qu'au n° 15, en changeant entre eux les éléments point et plan. Par exemple, si les deux trièdres ont des som-

(') Voir la note du n^ iq.

(') Soient, en effet, les droites a,b,c...', comme «^,rtc, //c sont trois plans distincts, leur point commun est le point de concours des droites a,b,c,. . ..

Wvl- tv1 ht^

PRINCIPE DE DUALITÉ

mets différents S', S", les points où se coupent les couples d'arêtes sont les sommets d'un triangle dont les côtés sont a' a", (3'^", 7^/'; ces dernières droites sont donc dans un même plan (celui du triangle).

De même aussi, dans le cas où les deux trièdres ont le même sommet S, la démonstration sera corrélative à celle du cas analogue de deux triangles A'B'C, A"B''C" (situées dans un même plan) du n« 15. Le théorème p'eut aussi s'établir en projetant d'un point S la figure qui exprime le théorème dun°J4.

L'élève studieux peut se proposer, comme exercice, la démonstration du théorème corrélatif à celui du n° 14, qui peut s'énoncer ainsi :

Si deux trièdres a'6'y', a" [^''y" font tels que les droites a'a", S' S", y'v" sont dans un même plan, les couples de côtés (^'7' et (^"y", y'a' et 7"a", u!y et a"[3" déterminent trois plans qui passent par une même droite.

30. Dans la Géométrie plane, deux figures ou deux projiosilions corrélatives se déduisent l'une de l'autre par l'échange des éléments /?o//2^ et (/rozVe. En voici quelques exemples (') :

1° Deux points A, B déterminent 1 Deux droites «, b déterminent un

une droite, la droite AB.

2°QuatrepointsA,B,C,D(/^.

Fig. II.

dont trois ne sont pas sur une ligne droite, constituent une figure, que l'on nomme quadrangle complet.

On appelle sommets du quadrangle les quatre points ci-dessus, et côtes du même quadrangle les six droi tes q ui les joignent deux à deux.

point, le point ab.

Quatre droites <7,/^,

Fig. 12.

difg.

dont trois quelconques ne concourent pas en un même point, constituent une figure que l'on nomme ciiiadrilatère complet. Les quatre droites sont appelées côtés du quadrilatère complet, et ses sommets sont les six points où les côtés se

(') Il est bien entendu que les points et les droites dont il s'agira se trouvent dans un même plan.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Deux côtés qui ne passent pas par un même sommet sont dits opposés; il y a donc trois couples de côtés opposés, BC et AD, GA et BD, AB et CD. Les points E, F, G, où concourent les côtés opposés, sont nommés points diagonaux; et le triangle EFG est nommé triangle diagonal du quadrangle complet.

Le quadrangle complet comprend trois quadrangles ou quadrilatères simples ACBD,ABCD,ABDC l/j-. 1 3) .

Fig. i3.

coupent deux à deux. Deux sommets qui ne se trouvent pas sur un même côté sont dits opposés. Il y a donc trois couples de sommets opposés, bc et «<:/, ca et bd, ab et cd. Les droites e, /, ^, qui joignent les sommets opposés, sont les droites diagonales; et le triangle efg est nommé triangle diagonal du quadrilatère complet.

Le quadrilatère complet comprend trois quadrilatères ou quadrangles simples acbd.^ abcd^ abdc [Jig. i\).

Fig. 14.

3° En général :

Un polygone [n-gone] complet ! Un midtilatère [n-latère) comest le système de n points ou som- \ plet est le système de n droites ou

'^---I^^ côtés, considérés avec les ^'^~--

points ou sommets où ils se coupent deux à deux.

mets, considérés avec les

droites ou côtés qui les joignent deux à, deux.

4° Les théorèmes du n" U et du n*' 15, où les deux triangles sont supposés situés dans un môme plan, sont corrélatifs entre eux.

5" Si deux quadrangles complets ABCD, A'B'C'D' jouissent de la propriété que les côtés AB et A'B', BC et B'C, CA et C'A', AD et A'D', BD et B'D', se coupent en cinq points d'une droite s, les deux cô-

Si deux quadrilatères complets abcd, a'b'c'd' jouissent de la propriété que les couples de commets «^'et a'b\ bc %i b'c\ ca et c' a\ ad et a'd\ bd e\!^b'd' se trouvent sur cinq droites concourant en

-.tjaA v^

PRINCIPE DE DUALITÉ

tés restant ront aussi

3 CD et CD' se coupesur $(/^.i 5).

un point S^ les deux sommets restants cdet\''d' seront aussi alignés surSl/g'. i6).

Fig. i5.

Fig. i6.

^^Si^