Deux formes géométriques de première espèce com

(') Si l'on projette une ponctuelle fi ï^ ABC... de deux centres différents 0 et 0', non situés dans un même plan avec la ponctuelle, on obtient deux faisceaux (perspectifs) de rayons qui sont, en outre, des sections faites parles plans transversaux O//, OiH dans un même faisceau de plans ayant pour axe la droite 00' et composé des plans OO'A, OO'B, OO'C,.... C'est là le cas général de deux faisceaux perspectifs de rayons : ils n'ont pas le même centre et sont dans des plans différents; et, en même temps, ils projettent une même ponctuelle et sont sec tions d'un même faisceau de plans. 11 se présente deux cas particuliers : 1° Si l'on projette la ponctuelle u de deux centres 0 et 0' situés dans un même plan avec u, alors les deux faisceaux de rayons sont dans un même plan et, par suite, ne sont plus des sections d'un faisceau de plans; 2» si un faisceau de plans est coupé par deux plans transversaux passant par un même point 0 de l'axe, on obtient deux faisceaux de rayons qui ont le môme centre O et ne projettent plus, par suite, une même ponctuelle.

30 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

posées chacune de irois élémenls sont toujours projeciives. Pour démontrer celte assertion, j'observe avant tout qu'il suffit de considérer le cas de deux ponctuelles ABC, A'B'C; car, si une des formes proposées est un faisceau, on peut lui substituer une de ses sections par une transversale.

Si les deux droites ABC, A'B'C ne sont pas dans un même plan, menons les droites AA', BB', CC et coupons-les par une transversale 5(>}. Alors les deux formes données ne seront autre chose que deux sections du faisceau de plans ^AA', 5BB', sca.

Si les deux droites sont dans un même plan {Jig. 19), pre-

Fi(T. 19.

nons sur la droite AA' deux points S, S', et soient B" l'intersection de SB et de S'B'; C l'intersection de SC avecS'C; A'' l'intersection de SS' avec WC\ Alors A.''B"C" sera une projection de ABC aussi bien que de A'B'C vues respectivement des centres S, S'.

Fijj. 20.

Dans le cas où les points A et A' coïncident {Jig. 20) , les deux

(') Pour cela il suffît de mener par un point quelconque' de AA' une droite qui rencontre BB' et CC. (P^oir le problème 8° au n^ 28.)

rOUMBS PRpîECTIVES. 3l

-^ ' ' r î^ràenl/perspectives; le centré de .. a àBB', ce

il les demt^iernes de/poinls ABC, A'B'C [fig. 21)

io-ii sur une méïn« droiie, il sufr.ra>t de projeter \'\\.x\ des ternes Â'B'C sur une autre droite A B,C;, et l'on retomberait yiir un des rn^^ (\ô\h considérés.

Par exemple, si Von veut projeter ABC en BAC {fig. 22), il

Fig. 22. ■

suffît de prendre au hasard deux points L, N alignés sur C. ^^ \ tj f Soient alors K le point de concours de AL et BN, M celui de )., BL, AN; LNC sera une projection de ABC à partir du centre ïdV*** j ^ (^ et BAC une projection de LNC à partir du centre M.

Si l'on voulait projeter ABC en BCA on, pourrait projeter d'abord ABC en BAC, puis BAC en BCA.

ii.^

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

§ VIII. — Formes harmoniques,