C- 38. Théorème (').— Si troispoints

A, B, G sont donnés sur une droite s, et si l'on construit le quadrangle complet (KLMN), de manière que deux côtés opposés (KL, MN) concourent en A ; que deux autres côtés opposés (KN, ML) concourent en B, et que le cinquième côté |^^j (LA) passe par G, le sixième côté (KM) coupera la droite s en un point D, qui est déterminé par les trois points donnés, c'est-à-dire qui ne change pas, de quelque manière qu'on fasse varier les éléments arbitraires du quadrangle {Jig. 23).

Démonstration. En effet, si Ton construit un second quadrangle complet (K'L'M'N') qui satisfasse aux conditions prescrites, les deux quadrangles auront cinq paires de côtéscorrespondantsqui concourent sur la droi te donnée ; donc la sixième paire concourra aussi sur la même droite (n° 30, 5", à gauche).

Il résulte de là que si l'on maintient le premier quadrangle fixe, et si l'on fait varier le second, de toutes les manières possibles, le point D restera fixe, c. q. f. d.

Les quatre points ABCD sontnommés harmoniques, ou bien l'on dit que la forme géométrique constituée par ces quatre points est harmonirjite.

Cela revient à dire : quatre points ABGD d'une droite, considérés dans

Si trois droites données «, ^, c (dans un plan) concourent en un point S, et si l'on construit un quadrilatère complet [klmn]^ de manière que deux sommets opposés (X/, mn) tombent sur <?, que deux autres sommets opposés (//?, /;//) tombent sur b, et le cinquième sommet [In] sur <?, le sixième sommet [km] tombera sur une droite d, passant par le points, et déterminée, c'est-à-dire, qui ne change pas, de quelque manière qu'on ftisse varier les éléments arbitraires du quadrilatère [Jig. i\).

En eff'et, si l'on construit un second quadrilatère complet [h'I'm'n') qui satisfasse aux conditions prescrites, les deux quadrilatères auront cinq paires de sommets correspondants, alignés sur le point donné ; donc la sixième paire sera en ligne droite avec ce môme point (n° 30, 5°, à droite).

Il résulte de là que si l'on maintient le premier quadrilatère fixe, et si l'on fait varier le second, de toutes les manières possibles, la droite r/ restera fixe, c. q, f. d.

Les quatre droites ( ou les quatre rayons) abcd sont nommés harmoniques, ou bien l'on dit que la forme géométrique constituée par ces quatre droites est harmonique.

Gela revient à dire : quatre rayons abcd d 'un faisceau , considérés dans

;') Staudt, Géométrie dcr Lage (iNiirnberg, 18,^7), n" 93.