AA' AC A' A A'C

BÂ'*BC' B'A'B'C AB'.BC'.CA'+A'B.B'C.C'A = o.

Inversement, si cette relation existe entre lès segments déterminés par les points AA'BB'CC d'une droite, ceux-ci forment des couples en involution. En effet, la relation ci-dessus équivaut à l'égalité des rapports anharmoniques (ABA'C), (A'B' AG) : ces groupes sont donc projectifs ; mais A et A' se correspondent doublement; donc (n° 93), etc.

101. Soit [Jig. 77 ) un quadrangle complet QRST dont les côtés opposés RT et QS, ST et QR, QT et RS

sont coupés par une transversale quelconque en A et A', B et B', G et G' ; soit P l'intersection de QS et RT. ATPR est la projection de A G A'B' du centre Q, et, en même temps, la projection de ABA'G' du centre S; donc le groupe A G A'B' est projectif à ABA'G' ou (n° 56) A'G'AB. Les points A et A' se correspondent doublement dans les groupes projectifs AG A'B', A'G'AB; donc (n° 93 ) AA', BB', GG' sont trois

Soit [fig. 78) un quadrilatère complet qrst, dont les sommets opposés rt et qs^ st et (/r, qt et rs

Fig. 78.

sont projetés d'un centre quelconque par les rayons a et «', b et b\ c et c' ; et soit p la droite qui joint qs et rt. Les faisceaux atpr^ aca'b' sont projectifs, car ils sont perspectifs (leur section commune est 7) ; de même atpr^ abd c sont perspectifs (leur section commune est s] et, par suite, projectifs. Donc le faisceau aca'b' est projectif au faisceau aba'c'^ ou (n» S6 ) au faisceau a' c'ab. Les rayons a, a' se

couples de points conjugués d'une involution; ou :

Les trois couples de côtés opposés d^un quadrangle complet sont coupés par une transversale quelconque en trois couples de points conjugués en involution ( ' ) .

Ou, en d'autres termes :

Si un cjuadrangle complet se déforme de manière que cinq de ses côtés passent par autant de points fixes, donnés en ligne droite, le sixième côté tournera aussi autour d'un point fixe de la même droite, qui constitue, avec les cinq premiers, une involution de six points.

GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.

correspondent doublement dans les groupes projectifs aca'b', a'c'ab\ donc aa\ bb' , ce' sont trois couples de rayons conjugués en involution ; ou:

Les trois couples de sommets opposés d'un quadrilatère complet sont projetés d'un point quelconque par trois couples de rayons conjugués en involution.

Ou, en d'autres termes :

Si un quadrilatère complet se déforme de manière que cinq de ses sommets parcourent cinq droites fixes, qui concourent en un même point, le sixième sommet parcourra aussi une sixième droite passant par le même point, et les six rayons formeront trois couples en involution.

En combinant le théorème qui précède ( à gauche ) avec le théorème du n° 100, on voit que (^) :

Si une transversale rencontre les trois couples de côtés opposés d'un quadrangle complet en A et A', B et B', C et C, les segments de la transversale sont liés par la relation suivante :

AB'.BC'.CA'-f- A'B.B'C.C'A = o.

Dans le théorème de droite, désignons par U et U', V et V, W et W les sommets opposés rt et qs, st et qr^ qt et rs du quadrilatère cjrst^ et par AA'.BB'.CC les points où les rayons aa' .bb' .ce' sont coupés par une transversale quelconque. En vertu du n° 9o, nous pourrons alors énoncer la proposition suivante :

Les six points AA'.BB'.CC que l'on obtient en projetant d'un centre quelconque , et sur une droite quelconque, les trois couples UU', W, WW de sommets opposés d'un quadrilatère complet, forment trois couples en involution.

Supposons maintenant que le centre de projection G soit un des deux

(') Desargues, ïoc. cit., p. 171.

(*) Pappus, loc. cit., liv. VU, p. i3o.

points communs aux deux cercles qui ont pour diamètres les diagonales UU', VV; les angles AGA', BGB' sont droits, et par suite (n° 98), l'angle CGC sera droit aussi ; cela revient à dire que le cercle décrit sur WW comme diamètre passera par G. Donc :

Les trois cercles qui ont respectivement pour diamètres les trois diagonales d'un quadrilatère complet passent par les deux mêmes points. Les trois cercles ont leurs centres en ligne droite ; donc : Les points milieux de trois diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite (*).

On déduit du théorème (à droite) du n'' 101 la construction du sixième rayon d d'une involution quand les cinq autres rayons sont donnés. Prenons un point quelconque sur c et faisons-y passer deux droites ^, t ; joignons le point ta au point qh'^ et le pointée au point qo! ; ces deux droites concourent en un point que nous joindrons au centre du faisceau donné, et nous aurons le rayon cherché d .

102. On déduit du théorème (à gauche) du n'' 101 la construction du sixième point G'd une involution quand les cinq autres points sont donnés. Menons par C une droite quelconque sur laquelle nous prendrons deux points Q et T, et tirons AT, BT, A'Q, B'Q; la droite qui joint le point R commun à AT, B'Q au point S commun à A'Q, BT rencontrera la droite donnée au point cherché C.

Si le point G est à l'infini dans le problème de gauche, son conjugué sera le point central de l'involution. Par conséquent, pour trouver le

Fig. 79.

point central 0 de l'involution dont on donne deux couples de points conjugués AA', BB', on construira (/^. 79) "^ quadrangle complet, de manière que deux côtés opposés passent par A, A', deux autres côtés opposés par B, B', et aussi de manière que le cinquième côté soit parallèle à la droite donnée; le sixième côté passera par 0. Le sixième point C, qui forme une involution de six points avec cinq

(*) Chasles, loc, cit., nos 344 et 345.

9^ GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.

points donnés AA'BB'C, est complètement déterminé par ceux-ci : ou autrement, il n'y a qu'un seul point C qui jouisse de cette propriété (n°98). En effet, ce point peut être regardé comme déterminé par l'égalité des rapports enharmoniques (AA'BC) = ( A' A B' G'); donc (n° 53), etc.

J03. On peut retourner le théorème du n° 101 et dire : Si une transversale coupe les côtés d'un triangle RSQ iJ^^' ll)^^ trois points A', B', C, qui forment respectivement des couples en involution avec trois autres points de la même transversale A, B, C, les droites RA, SB, QC concourent en un même point T.

En effet, soient T le point commun aux droites RA, SB et C, le point où la 'transversale coupe TQ. En vertu du théorème précédent, appliqué au quadrangle QRST, nous aurons