OC.OC' = OA.OA' = OB.OB

donc ce forme un couple de points conjugués de l'involution. En d'autres termes, le cercle décrit par deux points conjugués ce ou DD'.. . et par un des points G, H passera toujours par le second de ces points. Donc :

Les couples de points conjugués de V involution ne sont autre chose que les intersections de la droite, donnée avec les cercles passant par les points G, H.

Fig. 74.

On voit, d'après ce qui précède, que si l'involution a des points doubles, ces points seront les points de contact de la

LNVOLUTION. 9I

droite donnée avec deux cercles passant par GH. Nous avon déjà vu que ces points divisent harmoniquement AA', aussi bien que BB'(n« 96) -.donc (n°55) l'involution aura des points doubles, si l'un des deux couples AA', BB' est tout entier intérieur ou extérieur à l'autre {fig. 74) ; elle n'en aura pas si l'un des couples est divisé par l'autre {Jig. ']5) (*).

Fig. 75.

Dans le premier cas, l'involution (comme nous l'avons déjà remarqué) est formée d'une infinité de couples de points qui divisent harmoniquement un couple de points fixes.

Dans le second cas, au contraire, l'involution est marquée sur la droite donnée par les côtés d'un angle droit mobile autour de son sommet. En effet, comme les points AA' sont divisés par BB'{/ig. 76), les cercles décrits sur AA', BB' comme

diamètres se coupent en deux points G et H placés symétriquement par rapport à la droite donnée; ou, autrement, GH est perpendiculaire à la droite donnée, qui la divise en deux par-

(') Si l'un des segments AA', BB' empiète sur l'autre.

9^ GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

lies égales en 0, centre de l'involution. Il résulte de là que

ÔG* == ÔH ' = AO . 0 A' = BO . OB',

et que tous les autres cercles qui passent par GH et qui marquent sur la droite donnée les autres couples CC, DD',... de l'involution auront aussi leurs centres sur la droite AB,... ;

ils auront pour diamètres les segments CC, DD', Donc,

si Ton projette du point G (ou du point H) les segments AA', BB', CC',. . ., on obtiendra autant d'angles droits AGA', BGB', CGC',. . . (ou AHA', BHB', CHC, . . ).

Nous concluons donc que, si une involution de points AA', BB',. . . en ligne droite n'a pas de points doubles, c'est-à-dire si le rectangle OA.OA' est une constante négative — k\ tous les segments AA', BB',. . . sont vus sous des angles droits de tout point du cercle de rayon k, qui a son centre en 0 et dont le plan est perpendiculaire à la droite donnée.

Ce théorème est un cas particulier de celui du n° 83. Donc, si un angle de grandeur constante tourne dans son plan autour de son sommet, ses côtés déterminent sur une transversale fixe deux ponctuelles projectives, qui sont en involution dans le cas où l'angle est droit.

99. Considérons une involution de rayons parallèles entre eux, c'est-àdire ayant un point commun à distance infinie. La droite à l'infini est un rayon de l'involution ; le rayon qui lui est conjugué contient le centre de l'involution des points que l'on obtient en faisant une section par une transversale quelconque. Ce rayon peut, pour ce motif, être nommé rayon central de l'involution proposée. Réciproquement, si l'on projette une involution de points au moyen de rayons parallèles, ceux-ci forment une nouvelle involution dont le rayon central passera par le point central de l'involution donnée.

Lorsque l'on déduit une involution d'une autre involution au moyen de projections ou de sections (n° 95), les éléments doubles de la première donnent toujours naissance aux éléments doubles de la seconde.

100. De ce que dans une involution un groupe quelconque d'éléments est projectif avec le groupe des éléments conjugués, il résulte que, si l'on prend arbitrairement quatre points d'une involution, leur rapport anharmonique sera égal à celui de leurs conjugués. Par exemple, étant donnée l'involution AA', BB', CC',. . . les groupes ABA'C, A'B'AC seront

projectifs, et l'on aura