VIII. On obtient ainsi la solution suivante du problème
Construire par tangentes la conique dont on donne deux diamètres conjugués AA,, BB, en grandeur et en direction.
Supposons que BB, soit le diamètre qui est coupé par la conique, dans le cas où cette courbe est une hyperbole ; déterminons sur cette droite un couple de points P, P' conjugués dans l'involution qui a pour point central le centre 0 de la courbe et les points B, B, pour points doubles ou pour points conjugués, suivant qu'il s'agit d'une ellipse ou d'une hyperbole. Tirons par A, A, des parallèles à BB,, et par P, P' des parallèles à AA, ; les diagonales du parallélogramme ainsi obtenu seront des tangentes à la conique cherchée.
IX. Les segments AX, AiX, sont égaux et opposés; mais nous avons vu que
AX.AX' = =pÔb', donc AX'. A,X, rir ±Ôb',
ou bien :
Le rectangle des segments quune tangente variable (X'X,) détermine sur deux tangentes parallèles fixes y à partir de
236 GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.
leurs points de contact , est constamment égal au carré zhOB du demi-diamètre parallèle aux tangentes fixes ('}.
X. Comme la droite OB divise en parties égales la bande comprise entre AX et A, X,, les segments que AM, A, M déterminent respectivement sur AiXi, AX (à partir de A,, A) sont doubles de OP, OP'; mais, d'après le théorème I, nous avons
OP.OP'=:const.
Donc :
Les droites menées des extrémités d'un diamètre donné à un point quelconque de la conique déterminent sur les tangentes conjuguées au diamètre deux segments (à pariir des points de contact), dont le produit est constant {^).
XL Le point X étant (216) celui où la tangente en A coupe la tangente parallèle à X' X,, l'énoncé IV peut s'exprimer ainsi :
Le rectangle des segments (AX, AX') que deux tangentes parallèles variables déterminent sur une tangente fixe est constamment égal au carré (qzOB ) du demi-diamètre parallèle à la tangente fixe.
XIL Le théorème du n° 224 sert aussi à résoudre le problème :
On donne les deux extrémités A, A, du diamètre d'une conique, un troisième point M et la direction du diamètre conjugué à AA, : trouver la longueur du second diamètre.
Menons par 0, point milieu de AA,, le diamètre dont on donne la direction; il est coupé en P, P' par AM, A, M; prenons OB moyenne proportionnelle entre OP, OP' : OB sera la moitié de la longueur cherchée.
XIII. Le théorème IV donne une construction des couples de diamètres conjugués et, en particulier, des axes d'une ellipse dont on donne m grandeur et en direction deux demi-diamètres conjugués OA, OB [fii;. 190). Menons par A la parallèle à OB : cette droite sera la tangente en A, et deu^ diamètres conjugués quelconques la couperont en deux points X, X', tels que l'on aura
AX.AX- -Ôb\
Donc, si nous prenons sur la normale en A deux segments AC, AD égaux
(') Voir no 123.
(*) Apollonius, loc. cit., liv. Fil, p. 53.
à OB, tout cercle décrit par C et D coupera cette tangente en deux points X, X' doués de cette propriété, c'est-à-dire en deux points qui,
joints au centre 0, donneront les directions de deux diamètres conjugués. Si l'on fait passer le cercle par 0, l'angle XOX' sera droit ; par suite, OX, OX' seront les directions des axes (').
245. Par les exlrémilés A, A' [fig. 191) de deux demi-diamètres conjugués OA, OA' d'une conique, menons, dans une
direction arbitraire, deux cordes parallèles AB, A'B'(^). Pour construire les points B, B', il suffit de joindre les pôles de ces cordes : on obtiendra ainsi le diamètre OX, qui renferme leurs milieux.
Soit OX' le diamètre conjugué à OX, c'est-à-dire le diamètre parallèle aux cordes AB, A' W. Les groupes de quatre rayons 0(X,X', A, B), 0(X^X, A', B') sont harmoniques (51) et, par
(') Chasles, Jperçu historique ip. 45 et 3G2 ; Sections coniques, n» 205.
(*) Dans le cas où la conique est une hyperbole, si A est un point de la courbe, A' sera l'extrémité d'un diamètre idéal défini comme aux n^s 218-223. Dans ce cas A'B' sera une corde idéale.
238 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
suite, projectifs; donc les couples de rayons 0(XX'. AA'.BB' ) sont en involution (94); mais les couples O(XX'.AA') délermineni l'involution des diamètres conjugués (98,225); donc OB, OB' sont deux diamètres conjugués. Ou bien :
Si l'on mène deux cordes parallèles AB, A'B' par les extrémités A, A' de deux demi-diamètres conjugués, les points B, B' seront les extrémités de deux autres demi-diamètres conjugués.
Deux diamètres AA, BB déterminent quatre cordes AB qui sont les côtés d'un parallélogramme (194, 215). Les diamètres respectivement conjugués A' A', B'B' donnent, de la même manière, un autre parallélogramme dont les côtés sont parallèles à ceux du premier, c'est-à-dire que toute corde AB est parallèle à deux cordes A'B', et n'est pas parallèle à deux autres cordes A'B'.
I. Soient H et K les points où AB est coupée par les droites OA', OB'; le diamètre OX, qui divise A'B' en parties égales, passera aussi par le milieu de HK : AB et HK ont donc le même point milieu, et AH = KB et AK = HB. Les triangles OAK, OBII sont donc équivalents ('); de même, les triangles AKB', BHA' et, par suite, les triangles ÔAB', OA'B sont aussi équivalents. Ou :
Le parallélogramme construit sur deux demi- diamètres (OA, OB') est équivalent au parallélogramme construit sur les deux demi-diamètres respectiv'ement conjugués.
On démontre de la même manière Téquivalence des triangles OAB, OA'B'.
Les triangles AHA', BKB' sont équivalents pour la même raison; les triangles OAH, OBK et, par suite, les triangles OAA', OBB' le sont aussi ; ou bien :
Le parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués a une aire constante (^).
IL Soient M, N les points milieux des cordes non parallèles AB, A'B'. Comme (215) AB, A'B' ont les directions de deux diamètres conjugués, et comme ON est le diamètre conjugué
{') Baltzer, P/rt«j/rt., p. loi.
(") ApoLLOSiLS, toc, cit., liv. VII, p. 3i-3:i.
à la corde A'B', ON sera parallèle à AB ; de même, OM el A'B' sont parallèles: les angles OxMA, ONA' sont donc égaux ou supplémentaires; comme, en outre, les triangles OMA, ONA' sont équivalents, comme égaux à la moitié des triangles équivalents OAB, OA'B', nous aurons l'égalité
OM.AM = ±zON.NA' (').
Projetons maintenant [Jig. 192) les points A, M, B, A', N, B' du point à l'infini de OB sur la droite B'B'. Le rapport des
Fig. 192.
segments parallèles AM et ON, OM et NA' est égal à celui de leurs projections; on déduira donc de l'égalité ci-dessus que le rectangle des projections de OM, AM est égal au rectangle des projections de ON, NA'. Comme les rayons projetants sont parallèles à OB, les projections de OM, MA sont l'une et l'autre égales à la moitié de la projection de BA ou à celle de OA. N étant le point milieu de A'B', la projection de ON sera la demi-somme des projections de OA', OB', et la projection de NA' sera la moitié de la projection de A'B', c'est-à-dire la demi-différence des projections de OA', OB'. On a donc
(proj. OA)' z:^ db proj.(OA' -1- OB' ) X proj. (OB'— OA')
ou
( proj. OA')^dz (proj. 0A)-'=-- (proj. OB')^
(') Le double signe, molivé par la direction relative des segments OM, NA' et des segments OX, AM, correspond au cas de l'ellipse {Jig. 191) et à celui de l'hyperbole {/ig. 192).
24o GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
De la même manière, si l'on projetait ces mêmes points sur OB, au moyen de rayons parallèles à OB' [fig- 193), on
obtiendrait
(proj. 0A)2 ±: (proj. 0A')= r= (proj. OB)'.
Ce qui revient à dire :
Si deux demi-diamètres conjugués quelconques sont projetés sur un diamètre fixe, au moyen de rayons parallèles au diamètre conjugué à ce dernier^ la somme (pour V ellipse) ou la différence {pour l' hyperbole) des carrés des projections est constamment égale au carré du demi-diamètre fixe.
La somme des carrés des projections orthogonales d'un segment sur deux droites perpendiculaires entre elles est égale au carré du segment d'après le théorème de Pythagore ('); donc, si deux diamètres conjugués sont projetés orthogonalement sur l'un des deux axes de la conique, et si l'on fait la somme des carrés des projections de chaque diamètre sur les deux axes, on obtient le théorème suivant :
La somme [pour V ellipse) ou la différence {pour l'hyperbole) des carrés de deux demi-diamètres conjugués quelconques est constante; elle est toujours égale à la somme des carrés des demi-axes {^),
