I. De là il résulte immédiatement que

La conique qui passe par cinq sommets de deux triangles circonscrits à une autre conique passe

aussi par le sixième sommet.

La conique qui est tangente à cinq côtés de deux triangles inscrits à une autre conique est aussi tangente au sixième côté.

(•) Brianchon, loc. cit., p. 35. — Steinek, loc. cit., p. 1^3.

Ou bien :

Si deux coniques sont telles que l'on puisse inscrire dans l'une un triangle qui soit circonscrit à l'autre^ il y' a une infinité d'autres triangles qui jouissent de la même propriété (').

II. Dans la figure, nous avons quatre formes projeciives : les deux ponctuelles m, u\ qui déterminent les tangentes de la conique C et les deux faisceaux 0, 0', qui déterminent les points de C; le faisceau 0 est perspectif à la ponctuelle u, et de même le faisceau 0' est perspectif à la ponctuelle u\ Donc, si une tangente quelconque de C coupe m, u' en A, A', les rayons OA, OV concourront en un point M de C; et, réciproquement, si un point M de C est projeté des centres 0, 0', les rayons projetants rencontreront u, u' en deux points A, A' d'une même tangente de C. Donc :

Si deux côtés d'un triangle variable A A' M tournent autour de deux points fixes 0, 0' d'une conique donnée , pendant que les sommets opposés parcourent deux droites u, it\ et le troisième sommet la conique ci-dessus, le troisième côté restera constamment tangent à une conique déterminée, tangente aux deux droites u^ u'.

Si deux sommets d'un triangle variable A A' M parcourent deux droites u^ u' tangentes à une conique donnée , tandis que les côtés opposés tournent autour de deux points fixes 0', 0, et que le troisième côté reste tangent à la conique cidessus, le troisième sommet parcourra une conique déterminée qui passe par les points 0, 0'.

238. Soit un triangle ÏRS dont les côtés RS, ST, ÏR [fig. 112) sont coupés par une transversale en A', B', C, et supposons que les polaires de ces points par rapport à une conique donnée K (qui n'est pas tracée dans la figure) rencontrent la même transversale aux points A, B, C. Les trois couples de points réciproques AA', BB', CC seront en involution (220); par suite(103),les droites TA, RB, SC concourront en un point Q. Supposons, en outre, le point ï réciproque de A', et le point R réciproque de B' ; cela veut dire que les polairas de A', B' (par rapport à la conique donnée) sont TA, RB; le point Q commun à ces polaires sera, par conséquent, le pôle

C) Porcelet, loc. cit., n" 565.

de la transversale A'B'. Or C est un point de celle droite et est réciproque à C; sa polaire sera QC; mais QG passe par S: donc S et C sont des points réciproques. Si nous considérons maintenant le quadrilatère complet formé par la transversale et les côtés du triangle TRS, nous pourrons conclure le ihécrème :

Si les extrémités {T, A'), (R, B') de deux diagonales d'un quadrilatère complet forment deux couples de points réciproques par rapport à une conique donnée, les extrémités (S, C) de la troisième diagonale sont aussi réciproques par rapport à la même conique ( '}.

I. Le théorème corrélatif peut servir d'exercice aux élèves : Si deux couples de côtés opposés d'un quadrangle complet

sont formés par des droites réciproques par rapport à une conique, les deux autres côtés sont aussi des droites réciproques par rapport à la même conique.

Pour obtenir ce quadrangle complet, il suffit de prendre la figure polaire réciproque du quadrilatère considéré dans le théorème de Hesse, c'est-à-dire la figure formée par les polaires des six points (T, A'), (R, B'), (S, C).

II. La proposition suivante est un corollaire du théorème que nous venons de démontrer :

Deux triangles réciproques par rapport à une conique sont homologiques (^j.

Soit ABC un triangle (y?^-. 187); les polaires des sommets par rapport à la conique donnée forment un autre triangle A'B'C, réciproque du premier; c'est-à-dire que les côtés du premier sont aussi les polaires des sommets du second. Soient E le point de concours des côtés CA, C'A', et F le point de concours de AB, A'B'. Les points B et E sont réciproques, car E est situé sur C'A', polaire de B ; de même, les points C et F sont réciproques. Dans le quadrilatère formé par les droites BC, CA, AB, ËF, nous avons donc deux couples de sommets opposés BE, CF qui sont des pôles réciproques par rapport à la

C) Hesse, De octo puncds intersectionis triiim superficierum iecundi ord'uns {Dissertatio pro ^^enia legendL Regiomonti, iS^o), p. 17. (*) CnASL,ES, loc. cit., no 135.

GÉOMÉÏlllE rUOJECTlVE.

conique donnée ; par suite, les deux autres sommets jouissent de la même propriété : le point A et l'intersection des droites BC, EF sont réciproques. La polaire de A, qui est B'C, passe donc par le point D commun à BG et EF; en d'autres termes,

Fig. 187.

les couples de côtés opposés des deux triangles ABC, A'B'C se coupent en trois points en ligne droite D, E, F. 11 résulte de là (15) que les droites qui joignent les sommets AA', BB', ce concourent en un point 0, pôle de DEF.

III. En combinant ce théorème avec celui du n° 118, on peut énoncer la propriété suivante :

Si deux triangles sont réciproques par rapport à une conique K, les six points où les côtés de l'un coupent les côtés non correspondants de l'autre sont sur une conique C, et les six droites qui joignent les sommets de l'un aux sommets non correspondants de l'autre sont tangentes à une autre conique C, qui est la polaire réciproque de C par rapport à K (232) ('); ces six droites sont, en effet, les polaires des six points cidessus par rapport à K.

Si des deux triangles l'un A' B'C est inscrit dans l'autre ABC, les trois coniques se confondent en une seule qui est circonscrite au premier et inscrite au second triangle (137, 139).

IV. Étant donnés deux triangles homologiques ABC, A'B'C, on demande de construire la conique par rapport à laquelle ils sont réciproques. Pour obtenir les points où cette conique rencontre la droite BC, par exemple, il suffit de remarquer que ces points sont les éléments doubles de l'invo-

(') J'appelle correspondants le côté BC d'un des triangles, par exemple, et le côté B'C de l'autre qui est opposé au pôle A' de BC, etc.

lution dans laquelle B est conjugué à l'intersection de BG et de C'A', et C est conjugué à l'intersection de BG et de A'B' (220). Comme les points A', B sont les pôles des droites BG, C'A', ces points et l'intersection de ces deux droites seront les sommets d'un triangle conjugué (192). Si donc il arrive qu'en cherchant les intersections de la conique et des droites BC, C'A', comme nous venons de le faire, on trouve deux involulions sans éléments doubles, il faudra en conclure que la conique n'existe pas; car, si elle existait réellement, deux côtés du triangle conjugué devraient la rencontrer (195).

Le centre d'homologie 0 des deux triangles donnés [fg. i58) est le pôle de l'axe d'homologie DEF; et la correspondance projecLive (219) entre les points (pôles) de l'axe et les rayons (les polaires) issus du centre d'homologie est déterminée par les trois couples d'éléments correspondants : D et AA', E et BB', F et CG'; par suite, on pourra construire linéairement (66) la polaire (ou le pôle) de n'importe quel autre point de l'axe (de n'importe quel autre rayon issu de 0).

Ce que nous venons de dire pour le point 0 et pour l'axe d'homologie peut se répéter pour un sommet quelconque d'un des triangles et pour sa polaire, qui est le côté correspondant de l'autre triangle. En effet, si l'on considère, par exemple, le sommet A' et le côté BC, la correspondance projective entre les rayons issus de A' et les points de BC est déterminée par les trois couples d'éléments correspondants : A'B' et C, A'C et B, A'O et D. •

Ceci admis, on peut aussi construire linéairement la polaire d'un point quelconque P, ou le pôle d'une droite quelconque p. En eiTet, si P est donné, nous savons déjà construire les pôles des droites PO, PA, PB, PC, PA',. . ., qui sont tous sur une ligne droite X, la polaire cherchée de P Si l'on donne, au contraire, la droite p, les polaires des points où elle rencontre BG, CA, . . . concourent en un point, qui est le pôle de p.

Bemarquons que toutes ces déterminations de pôles et de polaires sont linéaires (du premier degré) et indépendantes de la construction de la conique fondamentale, qui est, au contraire, un problème du second degré, puisqu'elle se réduit à la recherche des éléments doubles d'une involution. La construction des pôles et des polaires est donc toujours possible, même quand la conique fondamentale n'existe pas. C'est-à-dire : Les deux triangles homologiques proposés déterminent, entre les points et les droites du plan, une correspondance réciproque telle, qu'à chaque point correspond une droite, à chaque droite correspond un point, aux rayons d'un faisceau correspondent les points d'une ponctuelle projective au faisceau, et réciproquement. Convenons d'appeler pôle et polaire un point quelconque et la droite qui lui correspond, et système polaire cet ensemble de pôles et de polaires qui possède toutes les propriétés de celui qui est déterminé par une conique fondamentale (188).

23o - GÉOMÉTRIE PUOJECTIVK.

Deux triangles homologiques déterminent donc un système polaire. S'il existe une conique fondamentale, elle est le lieu des pôles situés sur leurs polaires respectives et aussi l'enveloppe des droites qui passent par leurs pôles respectifs. S'il n'y a pas de conique fondamentale, c'est qu'il n'existe aucun point situé sur sa propre polaire (').

§ XXIIl. — Corollaires et constructions.

239. Supposons, dans le théorème du n"* 205, que les sommets B et C du triangle inscrit ABC soient les points à l'infini de l'hyperbole; alors S {Jig. 171) sera le centre de la courbe, et le théorème deviendra celui-ci :

Si d'un point A de l'hyperbole on mène les parallèles aux asymptotes, elles rencontreront un diamètre quelconque en deux points réciproques F, G. Ou bien :

Si, par deux points réciproques en ligne droite avec le centre de Vhyperbole, on mène les parallèles aux asymptotes, elles se couperont sur la courbe.

On conclut de là un moyen de construire l'hyperbole par points quand on donne les asymptotes et un point M. Sur la droite SM qui joint le point S d'intersection des asymptotes au point M, on prendra deux points conjugués de l'involution déterminée par le point central S et le point double M : ces points sont réciproques par rapport à la conique (220); par suite, en y faisant passer des parallèles aux asymptotes, les deux sommets du parallélogramme résultant seront des points de la courbe à construire.

240. Appliquons de la même manière à l'hyperbole le théorème du n'' 204, en supposant que les côtés b^ c du triangle inscrit abc soient les asymptotes :

Si l'on mène deux droites parallèles (/, g) quelconques par les points où les asymptotes sont coupées par une tangente quelconque de l'hyperbole, ces droites sont réciproques. Ou :

Deux droites réciproques parallèles coupent les asymptotes en deux points qui appartiennent à une même tangente de l'hyperbole.

On déduit de là une règle pour construire les tangentes d'une hyperbole dont on donne les asymptotes b, c et une tangente m. Pour cela, il suffit de mener parallèlement à m deux droites conjuguées de l'involution (99) déterminée par le diamètre parallèle à m comme rayon central

(') Staudt, loc. cit., no 241.

COUOLLAIRES ET CONSTRUCTIONS. 23 1

et par m comme rayon double. Ces deux droites conjuguées sont réciproques par rapport à la conique; par suite, en joignant les points où elles coupent les asymptotes, on aura une tangente de la courbe.

241. Soient B et C deux points quelconques d'une parabole, et A le point où la courbe est coupée par le diamètre qui passe par le milieu de BC. Soient F, G deux points réciproques, situés sur ce diamètre, c'està-dire deux points équidistants de A (106) ; en vertu du théorème du n° 20o, les droites BF, CG, comme aussi les droites BG, CF, concourront sur la courbe.

De là résulte une construction par points de la parabole circonscrite à un triangle ABC et ayant pour diamètre la droite menée de A au point milieu de BC.

Soient H, H' deux points réciproques pris sur la corde BC, c'est-à-dire deux points séparés harmoniquement par BC. Comme les points H, H' sont en ligne droite avec le pôle du diamètre qui passe par A, en appliquant le théorème du n" 205, nous aurons un point de la parabole à l'intersection de AH avec le diamètre qui passe par H' (et un autre à l'intersection de AH' avec le diamètre passant par H). Cela donne un autre moyen de construire par points la parabole, qui satisfait aux conditions données ci-dessus.

242. Supposons que c soit à l'infini dans le théorème du n° 204; nous aurons :

Si <7 et ^ sont deux tangentes d'une parabole et si, par un point quelconque du diamètre conjugué à «, nous traçons deux droites réciproques, dont l'une passe par le point ah^ l'autre sera parallèle à ^, et réciproquement.

Nous avons ainsi une manière de construire par tangentes la parabole dont on donne deux tangentes a^ r, le point de contact A de a et la direction des diamètres. Menons par A le diamètre, il rencontrera jf en 0; l'autre tangente t' menée par 0 sera la droite qui est séparée harmoniquement de t par le diamètre OA et la parallèle à a. Tirons par 0 deux droites réciproques, c'est-à-dire deux droites qui séparent harmoniquement ? et t' \ la parallèle à h\ menée par le point //«, et la parallèle à h^ menée par le point h'a^ seront tangentes à la parabole cherchée.

243. Supposons, dans le théorème du n° 204, que a soit la droite à rinfmi et que h et c soient deux tangentes à la parabole, nous aurons :

Les droites parallèles à deux tangentes à la parabole, menées par un point de la corde de contact, sont réciproques. Donc, en appliquant le môme théorème, nous aurons encore : Si par un point de la corde de contact de deux tangentes b^ c à une

232 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

parabole, on mène deux droites, h parallèle à h et h' parallèle à c^ la droite qui joint les points hc^ li' h sera une tangente à la courbe (').

De là un moyen de construire les tangentes à la parabole déterminée par deux tangentes et leurs points de contact.

244. Supposons, dans le théorème du n° 205, que le triangle inscrit soit A A, M, c'est-à-dire qu'il ait deux sommets A, A, en ligne droite avec le centre 0 de la conique (ellipse ou hyperbole, ^g-. i88); le pôle du côté AA, sera le point à l'infini

commun aux cordes divisées en parties égales par le diamètre AA,. Ce théorème (205) devient donc :

Les droites menées de deux points réciproques P, P' aux extrémités A, A, du diamètre, dont le conjugué est parallèle à PP', concourent sur la conique,

I. Les couples de points réciproques, analogues à PP', pris sur le diamètre conjugué à AA,, forment une involuiion (220), dont le point central est le centre 0 de la conique. Si cette involution a deux éléments doubles B, B,, ces points appartiennent à la courbe, qui est, par conséquent, une ellipse. Si l'involutibn n'a pas de points doubles, la conique est une hyperbole (212); on peut alors trouver deux points B, B,, conjugués de l'involution, et par suite réciproques par rapport à la conique, dont le point milieu est 0 (9G). Dans l'un et dans l'autre cas, on entend par longueur du diamètre conjugué à AA, le segment BB. (218, 223).

(') De la HiuE, loc. cit., liv. III, p.

COROLLAIIIES ET CONSTRUCTIONS. 233

On a pour l'ellipse (223)

OP.OF=: COnSt. rr^ Ob' rrr QB^' ,

et pour l'hyperbole

OP.OP'^ COnSt. = OB.OB, :=^ —Ôb' rr^ — ÔB^' .

IL Le théorème précédent nous donne le moyen de résoudre le problème :

Construire par points la conique dont on donne deux diamètres conjugués AAp BB, en grandeur et en position.

Dans le cas de l'ellipse [fig. 188), les quatre points A, A,, B, B, appartiennent à la courbe; dans le cas de l'hyperbole [fig. 189), soit AA, le diamètre qui coupe la conique.

Fig. 189.

Construisons sur le diamètre BB, plusieurs couples de points PP' conjugués dans l'involution dont 0 est le point central, et dont B, B, sont les points doubles dans le premier cas, ou des points conjugués dans le second. Les rayons AP, A, P' (ainsi que les rayons A, P, AP') se couperont sur la courbe.

111. Les droites OX, OX' menées parallèlement à AP, AP' sont deux diamètres conjugués (215). Les diamètres conjugués forment une involution (225) ; par suite, les couples de points analogues à X, X' (où les diamètres rencontrent la tangente en A) forment une involution dont le point central est A, parce que OA et la droite OB, parallèle à AX, sont deux diamètres conjugués. Si la conique est une hyperbole, l'involution des diamètres conjugués a deux rayons doubles qui sont les asymptotes; donc les points K, K, , où AX rencontre les asymptotes, sont les points doubles de l'involution XX'. . . .

Un seul des points K, K, est marqué dans la/"^. 189.

234 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

IV. Des triangles égaux OPA, AXO on lire AX= — OP, etdes triangles égaux OP'A,, AX'O on lire de même AX'= OP(');

mais on a

OP.OF^rzbOB', donc AX.AX'=:zp OB'.

Ou bien :

Le rectangle des segments que deux diamètres conjugués déterminent sur une tangente fixe, à partir du point de contact, est constamment égal au carré \zj^ OB ) du demi-diamètre parallèle à la tangente fixe.

V. Dans le cas de l'hyperbole, les points K, K, sont les éléments doubles de l'involution dont A est le point central et les points X, X' deux points conjugués; donc

AX.AX'^AK r^OB'; par suite, AK ^ OB.

Cela veut dire que la figure OAKB est un parallélogramme; ou l'on peut dire :

Si l'on construit un parallélogramme sur deux demi-diamètres conjugués de Vhfperhole, une des diagonales est une asymptote et l'autre est parallèle à la seconde asymptote (-).

Pour voir que AB est parallèle à la seconde asymptote, il suffit de considérer le faisceau harmonique (225) formé par les deux asymptotes et les deux diamètres conjugués OA, OB, et la transversale AB. Le point d'intersection de l'une des asymptotes et de la transversale est le point milieu de AB; le point d'intersection de l'autre sera donc à l'infini (51).

YI. Soit X, le point où le diamètre OX rencontre la tangente au point A,. Comme OX', OX, sont deux droites réciproques qui passent par un point de la corde de contact AA, des tangentes AX, A,Xi, la droite X'X, (204) sera une tangente de la conique.

( ' ) Pour se rendre compte des signes, il sufHt d'observer que, dans le cas de l'ellipse, OP, OP' ont le même sens, tandis que AX, AX' sont de sens opposés; dans le cas de l'hyperbole OP et OP' sont opposés, AX et AX' sont de même sens.

(-) Apollonius, loc. cit., liv. II, p. i.

Le point de conlacl de cette tangente est M, point commun aux droites AP, A, P' (224).

VII. Observons encore que X'X, est une diagonale du parallélogramme formé par les tangentes A, A, et par les parallèles à AA, menées par P, P'; on arrive aussi à ce résultat de la manière suivante. Les points d'un diamètre ont pour polaires des parallèles au diamètre conjugué (212); donc, P et P' étant deux points réciproques, si l'on mène par ces points des parallèles à AA,, la première sera la polaire de P% la seconde la polaire de P; par suite, ces parallèles sont réciproques. Si nous appliquons maintenant le théorème du n° 204 à ces droites réciproques et aux deux tangentes en A et A,, nous obtenons la propriété suivante :

Si deux côtés opposés d'un parallélogramme sont tangents à une conique et si les deux autres côtés sont des droites réciproques parallèles au diamètre conjugué aux deux premiers côtés, les diagonales sont aussi des tangentes à la conique,