CD. CD' AE.AE' BF.BF

2^2 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Celle relalion exprime un théorème célèbre dû à Carnot (')• I. Réciproquement, si l'on a, sur les côtés BC, CA, AB d'un triangle, trois couples de points DD', EE', FF', et si les segments déterminés par ces points et par les sommets satisfont à la relation (i), ces six points appartiennent à une même conique. Décrivons, en effet, la conique déterminée par les cinq points D, D', E, E', F, et soit F'' le point où elle coupera de nouveau AB. Nous aurons alors, en vertu du théorème de Carnot, une relation qui différera de la relation (i) en ce que le point F' sera remplacé par F''. Cette relation, combinée

avec (i), donne

AF: BF'z:=AF' :BF%

(ABF'F'^) = i ou (F''F'BA).= i;

donc (57) F' et F^' coïncident.

ir. Si le point A s'éloigne à l'infini {fig. igS), les rapports

AF:AE, AF':AE' tendent vers l'unité; par suite, Téquation (i) devient dans ce cas

BD.BD' CE. CE' '^^ CDTCD' BFTBF'' ~"^*

Menons parallèlement à BC une droite qui coupe CEE en Q et la conique en PP'; la formule précédente, appliquée aux

(') Géométrie de position, p. 437.

transversales DD% PP^ donnera

CE. CE' QP.QP

et, en multipliant entre elles ces deux dernières équations, nous aurons

BD^BD' QPjQP'

BF.BF' ~QETQE'' c'est-à-dire que :

Si par un point quelconque [Q) on mène deux transversales à une conique dans des directions données, le rapport des produits des segments (QP.QP': QE.QE') déterminés par la courbe, à partir du point commun aux transversales, est constant ( ' ).

III. Supposons dans la formule (2) que la conique soit une hyperbole, et, au lieu de BC, prenons une asvmpiole HK de la courbe : le rapport HD.HD': KD.KD' sera égal à l'unité; par suite,