VI. Principe de l'addition des lignes

16. Propriété V. On peut ajouter aux éléments d'une ligne {ou d'une colonne) d'un déterminant, respectivement les éléments d'une ou plusieurs lignes {ou colonnes) parallèles, multipliés par une même quantité positive ou négative, sans altérer la valeur du déterminant.

ai -♦- mbi-^nc^y Si, d at -*- mit — nct^ Ss, Ct az -*- mbi — »cs, Js, Ci

En effet, le premier de ces déterminants est égal à

(ai 4- mh — Mi) Al -*- (Oî -*- wJj — nct) A« -*- (a -♦- mh — ncz) Aj.

Cette somme se compose de trois parties. D'après la première propriété des mineurs, une de ces parties, savoir :

tfiAi -f- <h^i -^ û^sAs,

est égale à R. Les autres

w(5iAi -*- JsAî -*- SsAj), — ^(ciAi -♦- CiAt -*- Cz Aj),

sont nulles^ d'après la seconde propriété des mineurs. Donc, etc. Cette propriété est d'une importance capitale dans le calcul des déterminants. Exemples, l** On a successivement

Le second déterminant se déduit du premier en retranchant des éléments de la première et de la deuxième colonne, respectivement trois et quatre fois les éléments de la dernière. Le troisième déterminant se déduit du second en retranchant les éléments de la première colonne, une fois de ceux de la seconde, quatre fois de ceux de la troisième. Le reste du calcul est facile, d'après le n^ 3.

2*» On a, en retranchant la première ligne des suivantes et posant 7» = (J — a) (c — a), ;? = (J— . a) (c — a) (c — J),

Remarque. Le principe de l'addition des lignes peut servir à mettre un déterminant de deux lignes sous forme d'un déterminant à trois lignes plus simple. Ainsi (comparer exercices 3, 10 et exemple XI, n<* 13.)

(D% — a> yt — y

1 xi — a y\--\ 1 a?t — a? yt — 3

1 Xi yi

1 Xt y%

ExsBdcss. 16.

«i-i-m + M i,+fli-*-N 1 1 1 1

fl— *

a?-jr

jr — «

c — tf

CH-fl

|»(aH.iH.c)(ii-*)(*-c){c-a)j I ^^ ^^ ^^

tf j -i- tf j — tf I i^j -i- ôj -^ i| tfj-i-tfi — tf} Ôj -*- d| — b^ tf j -4- tff — flj ^s "*" ^1 — ^s

ys «»

21. Calculer p^ q, r, x et pronver qne l'on ti q*=p{r -^s) si

1 a» fl^ 1 *• ^ 1 c* c»