II. Des permutations distinctes d'éléments à deux indices
5. Permutations distinctes de n^ éléments ou permutations d'éléments à deux indices. On appelle ainsi tous les produits différents que Ton peut former en prenant un élément dans chaque ligne et dans chaque colonne du tableau de ces %' éléments, rangés en carré, de la manière suivante :
a\i an ... a\H ai bi Ct ... abc...
ati ait ... flîn at b<i Ci ... h k î .,, «5 bz C.-5 ... p q r ...
anl an* ... ann • . . . . ....
La permutation principale est le produit
an an ... anny ai bt Cs..., akr.. , des éléments qui sont sur la diagonale du carré allant du premier au dernier élément.
Dans le premier tableau, chaque ligne est caractérisée par un des premiers indices 1, 2,... %; chaque colonne, par un des seconds. Ces n indices 1, 2,..., w peuvent, d'ailleurs, être remplacés par n autres quelconques (ri, r«,..., r„), (Si, Si,..., Sn). Dans le second tableau, des lettres remplacent les seconds indices. On ne peut guère étudier les permutations d'éléments représentés par des lettres distinctes, comme dans le troisième tableau, qu'en les remplaçant, mentalement ou réellement, par des éléments analogues à ceux des deux autres tableaux^.
6. Théorème. Les permutations de n^ éléments restent les mêmes, si Von échange entre elles deux lignes, ou deux colonnes ou si Von remplace les colonnes par les lignes et les lignes par les colonnes. Appelons rangées les lignes et les colonnes. Les éléments qui sont dans une même rangée du tableau primitif des éléments, sont aussi dans une même rangée du nou-
veau tableau, obtenu par interversion de lignes ou de colonnes, etc.; les éléments qui ne sont pas dans une même rangée du tableau primitif ne sont pas non plus dans une même rangée du nouveau tableau. Toute permutation obtenue en prenant un facteur dans chaque ligne et chaque colonne du tableau primitif, s'obtiendra également en prenant ces facteurs dans le second tableau; car, d'après la remarque précédente, deux d'entre eux ne seront pas dans une même rangée.
7. Formation des permutations de n^ éléments à deux indices. Première méthode. Supposons écrites toutes les permutations de w' éléments du tableau 1 (n" 5). Chacune de ces permutations est le produit de n facteurs, ayant pour premiers indices 1, 2, 3,,.. n, parce que Ton a pris un facteur dans chaque ligne, et pour seconds indices, aussi 1, 2, 3,... », parce que Ton a pris un facteur dans chaque colonne. Arrangeons les n facteurs de chaque permutation dans un ordre tel que les premiers indices soient dans l'ordre naturel. Les seconds indices seront aussi dans Tordre naturel pour la permutation principale an.,, anm mais dans un ordre différent pour les autres permutations. Par suite, pour avoir toutes les permutations différentes, il suffit de permuter, dans la permutation principale, tous les seconds indices, en laissant les premiers dans l'ordre naturel. En effet, on aura pris, de cette manière, pour former les diverses permutations ou produits distincts, un facteur dans chaque ligne et un dans chaque colonne, et de toutes les manières possibles. Pour neuf éléments, cette règle donne les six permutations
Pi == au a%i «33, î?i = an ««s asi, pz = «u a^\ azi, p* = an a^i «35, ps = an ««s «si, pe = «15 «J2 «31 ; ou, si les seconds indices sont remplacés par des lettres,
Pi == «1 Jî c$, p^== at Ci Js, pz = Cl «s Js,
Pi, == bi «2 Csf ^5 = h Ct «3, p% = Ci 6i «g.
Seconde Méthode. On peut aussi trouver toutes les permutations de %*
éléments, en permutant les premiers indices de la permutation principale,
de toutes les manières possibles, et laissant les seconds invariables.
Ainsi, 9 éléments donnent les six permutations
i». = «. K Cî.
Pi = «I *. Oi>
Pi = «î *ï 0, ,
Remarque. Voici une règle plus générale : Dans une permutation quelconque, permutez les n premiers ou les n seconds indices 1, 2, ... n, de toutes les manières possibles, et laissez les autres fixes.
Exercice 9. Former les permutations de seize éléments ai,bxj ..., dt, 8. Théorème de Cramer et Bézout généralisé. Permutations paires au impaires. Considérons les permutations
A = M«,vIaA,N, B = MaJ^ArN, C = MaA,I«,>N.
A cause de réchange des seconds indices r et s^ la différence des nombres de dérangements des seconds indices, dans A et B, est impaire (n" 3) ; à cause de l'échange des premiers indices i et A, la différence des nombres de dérangements des premiers indices dans B et C, est impaire. Donc, la différence entre le nombre total des dérangements de la permutation A et le nombre total des dérangements de la permutation équivalente C est paire.
Appelons permutations paires celles qui contiennent un nombre pair de dérangements, soit des premiers, soit des seconds indices ; permutations impaires, celles qui en contiennent un nombre impair. Le théorème précédent pourra s'énoncer ainsi : Une permutation reste de même classe si Von y change deux facteurs de place (*). Il est clair qu'une permutation ne change pas de valeur par ce changement de l'ordre des facteurs.
Exemple. Les permutations équivalentes
atz a%i tfss =• «81 tfss atz = a^i a^ au contiennent respectivement 2, 2, 4 dérangements, savoir :
Les permutations suivantes en contiennent 1, 3, 5 :
ati ail â^53 =» au a^z ai% = ass au a\%
BxERCiCBS. 10. Quel est le nombre des dérangements dans
diâ^s^iCi = dOibidt = CidtazJbx^ hxd^a^Ct = btaiC%dz = dsCtaibt ?
11. Les produits des éléments des diagonales d'un carré de n* éléments sont de classes différentes, sauf si (n — 1) ou « est divisible par 4 (Comp. n« 11, Ex. 19).
