Le cas où Ton divise la seconde période par un nombre
impair /i, et la recherche des expressions des fonctions 2r f t' — W
au moyen des fonctions ^{^)y se traitera de la même manière.
Partons, par exemple, des formules (XXVIIf.j), et, tout en conservant les notations précédentes pour ce qui concerne les fonctions (3'(w|o>i, Ws), (3'oi(m | w,, cog) et 3r(i^[T), désignons par de petites initiales affectées d'un accent les constantes relatives
aux fonctions d (u\o}ij -^j 7 (ia^(u\^o^, — j et 3(ç?-j; en d'autres termes, posons
1^ rïci
LES FONCTIONS 2r. 189
Soient aussi, pour abréger^
Nous aurons alors, en passant des fonctions (3*, (S'a aux fonctions
(r = ri, r,, ..., r„i), OÙ «l^ représente Texpression
qui se réduit immédiatement, et est égale à
Si Ton pose, pour abréger,
(LU.) ' "•'
l4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
les formules précédentes prennent la forme
(ri
(r = Ti, rj, .. .,r„i),
de sorte que le problème de la transformation de t en — est ramené au suivant :
Exprimer, au moyen de q, les quantités 6|, ba^i définies par les formules (LII5).
263. Il est aiséde voir comment, au moyen des formules (XXXIV), on passe de Tune des relations (LII4) aux trois autres en ajoutant
successivement à l'argument v' les quantités -» -> • On trouve
ainsi, par un calcul très facile, en comparant les résultats, et en se rappelant que \] - est toujours un entier de même parité que
11 nous suffira donc d'exprimer, au moyen de 9, Tune des quantités fr|, 62? b^, 64.
264. Nous commencerons par exprimer, au moyen de q^ les différents produits
Il H-})-
Il Sa-.
Si l'on se reporte à la formule (XXXII7 */,)
0% ^) = qof(z),
LES PONCTIONS ^. l^l
OÙ
/(•S) -fJCi-^-^'^-'-'^Cn-y*^-'-»-').
et si l'on fait
rTTIi
Zr-=e " r-.q\
on aura manifestement
U P3(5.)-^,« n^x)f{zi)'-j(z„,\
en sorte qu'il suflira de calculer le produit qui peut s'écrire
ii|nu,--''^][.^.,'--'^]|
Or on a, comme on le reconnaît de suite, en écrivant les facteurs de la quantité entre crochets, de manière que les exposants de q aillent en croissant.
JJ [.-4-5r « JL, -q "' \
r ri
= r-t-T«v-illLi-H^ " J,
et, par conséquent, le produit cherché est ég^al à une fraction dont le dénominateur est égal à
Vi-«
JJ(l-r-^«v-l) = y„
I^a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
tandis que le numérateur est égal à
v=l (Jl^l v = i
(l'égalité résulte de ce que, dans le premier membre, les exposants de q sont tous les nombres impairs divisés par /i). On a donc
et par suite
Par un calcul tout semblable, on obtient de même les relations
<"■■' ', n^ï)=' "'^It
265. C'est en nous appuyant sur la première de ces relations que nous allons exprimer bz en fonction de q. Comme on a manifestement
Atf.
on en conclut
d'où
LES FONCTIONS &. l43
et par suite
r=ii — i r = /i — 1 r = n — t
Mais il résulte des formules (XXXlVj) que Ton a
donc la fonction
ne change pas quand on remplace r par r -{- n\ par suite, le produit
ne change pas quand on remplace r^^r^^ . . . , r,^\ par un système analogue de nombres entiers. On aura donc
et, en se rappelant l'expression de la somme des carrés des n — i premiers nombres entiers, on trouvera, après des réductions immédiates.
En se reportant aux valeurs de a^ et de A^, on a donc
Cette expression se réduit à -^ lorsqu'on prend pour /• les nombres
Zt 1, =iZ2, .. ., =1^ —
266. A l'aide des relations (LII5) (n°^262, 263, 265), on ob-
l44 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
tient immédiatement les relations suivantes, qui peuvent être utiles; la troisième a déjà été obtenue au numéro précédent.
---r /rT\ '^'^9j) o'ï^lJn ^ n*
On a aussi les relations suivantes
( ô^ ^ TT âî (£2) = ^ TT^i- (-) = ^ ^'^' -*2^«
(|ui résultent immédiatement du calcul des quantités 6|, 601+4, si l'on prend pour r les nombres =t: /'i, =t ^o, . . ., ±: r„,.
Comme on a d'ailleurs
a; ^ Sr;(o^ AU, ^ Sr^^iro)
on pourra exprimer 2r', ( o — j> Sa+i (^ ~ )> ^" moyen de 3j(o), 2'a+i(^>)j I I ^M — )' lT^"+*( — )' ^^"^ laissons au lecteur
le soin d'écrire ces formules.
267. Les formules (XXVII4), qui expriment les fonctions (^ f ^< j o),, — j, (^a( w (0|, — j au moyen des fonctions du, <3'af/,
LES FONCTIONS &. l45
nous permettent d'exprimer aussi les fonctions 3 f (^ - j au moyen
des fonctions 2r(w). En passant des (^ aux 3 à l'aide des relations (XXIII|4), et en remplaçant, à l'aide des relations (XXXIX5), les produits (e» — ep)(ea — ey) par les quantités 2ri^i(o), on obtient aisément les formules suivantes :
='.('l„-)-S^.<-)n[^!('>-jM^'(')].
(LU
^•('l-;)=g^'<"n[^î<')-Jp|^i<"'].
/r = Ti, r,, ..., r„A.
