En chaDsreant, dans ces formules, v en v-\--y i

i^ H > on obtient six expressions pour chacune des fonctions

â^i' -j au moyen des fonctions Hj(i'|T); elles se réduisent à

trois, si l'on tient compte des relations (LIIq).

On remarquera d'ailleurs que les deux problèmes qui consistent à exprimer les fonctions 2r(/i(^|/iT) au moyen des fonctions Sr(i'|T), et les fonctions 2r(^ -j au moyen des fonctions

2r(ç? |t) ne sont pas réellement distincts; on ramène l'un à l'autre par des transformations linéaires. En effet, pour exprimer les

fonctions Srfi' -j au moyen des fonctions 2r((^[T), on peut exprimer les fonctions 2rf (^ - j au moyen des fonctions 3(— — — )

(c'est «ne transformation linéaire); puis, exprimer les fonc- T. et M. — II. 10

l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

lions Sr f — j au moyen des fonctions S (- ) (c'est le

premier des deux problèmes); puis, enfin, exprimer les fonctions

^ \z\ ) ^" moyen des fonctions 2r((^|T) (c'est encore une

transformation linéaire).

269. En se reportant aux définitions des fonctions modulaires

et aux expressions des produits

au moyen de q, q«, q^ pour les uns, de q, q^, q^ pour les autres, on obtiendra immédiatement les relations suivantes :

(LUI

if)

(ri

(7) «•• îT «"««(^jEK^)] * =n^'(7r)

(LUI

270. II importe de remarquer que, puisqu'on sait exprimer les

fonctions Sr(/i(^ | /it), Sf(^ -j au moyen des fonctions 3(v\'z)^

on sait, par cela même, exprimer, au moyen des fonctions 2r(i;|T), les fonctions Sr(/ii'|T); ces dernières, en effet, sont des fonctions entières, homogènes et du n'^™' degré des fonctions

2r ( p - j, comme le montrent les formules (Lls^g)? et les fonctions

2r/ (; - j sont des fonctions entières, homogènes et du /i»*"® degré

des fonctions 5{v |t), comme le montrent les formules (LII); les fonctions Sr(/ii^) sont donc des fonctions entières, homogènes et du degré n^ des fonctions ^{v). Cette conclusion subsiste même si n est pair, comme il est aisé de le voir en pensant aux formules relatives aux transformations de Landcn et de Gauss. Si Ton se borne au cas où n est impair, on obtient des formules équivalentes à celles dont nous venons de décrire la formation, en combinant les formules (LI4) et (LII4), où les expressions des fonc-