LX

1 $ao(w-*-2a)p) =:— Çao'/. $Py( w "^ acop) =— $pyW.

= — y/ep— ea /«y— ^aîoa'^ (LX ) ' îao(w-4-wp) =^ /ep— eaÇypM,

Çpy(f/-4- cop) =— /ep— ea^oa".

Ces formules montrent que les fonctions Ç sont doublement périodiques. La fonction ^iqU, par exemple^ admet les périodes 2o>i, 4^37 6^ îl 6St clair, d'après la nature des pôles qui sont tous congrus à zéro, modulis atoi, 203, et parce que 2o>3 n'est manifestement pas une période, que ces périodes sont primitives . Les carrés des fonctions Ç sont doublement périodiques et admettent tous 2 0>|, 2t03 comme couple de périodes primitives.

290. Il est facile d'obtenir les équations différentielles que vérifient les fonctions Ç, puisque l'on a l'équation qui relie pu à p' u.

Observons d'abord que l'équation (XI3)

DM = — 9.

peut s'écrire maintenant Dès lors les relations

Çao=/pw-^a, ?oa= -7 ^ Çpy= -7—=^

Vpu — eg^ ^pu — Cy

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 3* ET DBS FONCTIONS 2r. 171

donnent immédiatement

(LXI,) Çio =• — 7^^-^^=^ = - y/pu — eo^^pii — e^ = — J^o^yo,

(LXI.) ;;,= , -f^ = ^- ^^ ^^^^^^^ =. ^eaSva

(LXI) < 2/pa — ep/p£/-e^(pw-ey)

— (cp~«^)v/pw-^a

En remplaçant dans la première de ces égalités Ç^o» ^yo P^^ leurs valeurs (LIX3) en fonction de Çao> on obtient

(LXIIi) Î;«,= («a— ^p-HÎJo)(«a~^r-+-îâo)i

c'est-à-dire que la fonction Ç^o vérifie l'équation différentielle

elle peut donc être définie comme une fonction univoque de ii satisfaisant à celle équation différentielle et telle que la différence

y soit régulière aux environs du point o, et s'annule en ce

point.

Il est clair que, si une fonction f{u) satisfait à une pareille équation différentielle, où la variable u ne figure pas explicitement, il en sera de même de la fonction f(^u-\- C), où C est une constante arbitraire ; les fonctions Iolo ( w + ^ol) > Çao {u -h wp) , ixo(" 4- Wy), en particulier, devront vérifier cette équation différentielle, ainsi que les fonctions

qui leur sont respectivement égales ; on en conclut, ou Ton obtient directement par un calcul analogue au précédent, les équations

(LXII) l^""^ ?ii=['-+-(^a-e3)?îa][i + (^a-^y)îî«]» ( (3) ??y = (i-Î^y)[^?— «a-^C^a— er)î5Y]-