CHAPITRE IV

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 3* ET DES FONCTIONS 2r.

287. Il convient souvent, dans diverses questions, d'introduire les quotients que Ton peut former au moyen de deux fonctions ^ portant sur la même variable et les mêmes périodes ; les quatre fonctions du^ (^tUf (^2^/, «s'a 2/ engendrent ainsi douze fonctions. Nous poserons, en conservant les mêmes conventions qu'au n** 112 relatives aux indices a, P, y,

5aoW = -*— = y/pu - eoL.

<fu

(LIXi) { ^^^^ ^ '^^^~7i "^ "/ '

^ s'a w \i^pu — es

5byw = -^ = -»

Nous sous-entendrons la variable ii quand il n'y aura aucune ambiguïté à craindre; ainsi nous écrirons Çaoi Soa? Spy au lieu de Sao'^j Soa'^î SpyW- Au contraire, quand il y aura lieu de rappeler les nombres o>i, a>3 qui servent à construire les fonctions d et, par suite, les fonctions Ç, nous écrirons

ioLo(u\ 0)1,0)3), îoa(w|o>i,o>3), $pY(M|ci),,a)3),

ou bien

si c'est sur les invariants ^2, ^3 qu'on veut attirer l'attention. 288. Les fonctions Ç sont des fonctions univoques de u; celles

LBS QUOTIENTS DBS PONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS ^. 169

qui ne contiennent pas dMndice o sont paires, les autres sont impaires. Elles n^admettent pas d'autres singularités que des pôles, tous simples; ces pôles sont les nombres congrus à o, modulis 2 0)1, acos, si le second indice est o, à tù^ si le second indice est a. Les zéros de ces fonctions sont congrus à o ou à (o^, selon que le premier indice est o ou a; ce sont tous des zéros simples.

D'après leur définition, les fonctions Ç sont des fonctions algébriques de la seule fonction pu\ elles sont donc toutes des fonctions algébriques de l'une quelconque d'entre elles, tandis que leurs carrés sont des fonctions rationnelles du carré de l'une quelconque d'entre elles. D'ailleurs les relations algébriques qui les lient sont manifestes ; il suffit de les écrire

(3) pw = ea-HÎ'îo=^?-+-?2o = ^r-^5?o,

d'où

1(4) 3pa = $Jo-4-$^o-^5?o»

Notons encore celle-ci (LIX.) L = ç.^ = ]z3l = IsJk .

289. 11 est très aisé, au moyen des diverses formules (Xlla.a), de voir quel changement produit sur les fonctions Ç^O) ï^y l'addition de l'une des quantités aco^, acop, acoy ou toa, cop, o>y à l'argument £/.

Observons d'abord que l'on a

la dernière égalité résulte des formules (XIir2).

En particulier, et en tenant compte des formules (XXXVIl4 5),

on a

Mainlenaat les formules (Xn2 3) donnent