Examinons maintenant, comme au n^ 120, le cas où les

nombres coi, ~ sont réels et positifs.

Si la variable u est réelle, toutes les fonctions $ sont réelles ; on en connaît le signe d'après les résultats du n^ 12U et les formules

ïoa= îpa$r«» îpy ~- — (^^—^y) îoy îay

permettent de reconnaître immédiatement si elles sont croissantes ou décroissantes; comme d'ailleurs on connaît les valeurs qu'elles prennent pour les multiples de (Of qui sont les seules valeurs réelles pour lesquelles les dérivées puissent s'annuler ou devenir infinies, on reconnaîtra sans aucune difficulté entre quelles limites les fonctions varient. Par exemple, la fonction Ç 3 croît de o à

■ quand u croît de o à coi ; la formule (LXIIIi ) montre que V^«i— «3

dans cet intervalle on a

en donnant au radical le sens arithmétique, puisque la dérivée doit être positive; on en conclut qu'on doit avoir

et, en remplaçant dans cette formule y par « on trouve

en donnant à A" la même signiflcation (XXXVII4) qu'au n" 170,

rr 1 y/ga— g.i __ Sr»(o)

298. Quand w= «V est purement imaginaire et que u! reste dans rintervalle (o,~ ji les fonctions paires Ç^y(m') sont réelles

et positives, ainsi que la fonction impaire TÇoa(^^')î ^^^ exprès-

sions des dérivées donnent aisément le sens de la variation ; soit, par exemple,

* = 7Îoi(tV),

on aura

en désignant par ^^^(«V) ce que devient $^, w quand on j rem-

dz ' place w par / w'; ,^, est donc positif et z croît de o à

7?0ltO3= . . = -j=—y

* f/g3— gi ygi — g3

comme on s'en convainc en se reportant aux formules (LX| , XIII4) . Puisque la dérivée de :; est positive, elle est donnée par la formule

V^l» -H(gi — gi) îo'l('"')J lH-l>i - ^3)îoV''Ôf

les radicaux étant pris avec le sens arithmétique, cl Ton a par conséquent

v^fi— «'s

dz

• '0 )/[\ —{ex — Ci) z^\[\ —{Ci — ga) 5*J

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS â^. I77

OU, en remplaçant z par

dx

-4 /ei — cj = ; , — — -^-^ — ,

' Jo )/(i-x^)(i — k'^x*)

ici encore A/ a le même sens (XXXVII5) qu'au n° 170, savoir :

rp Vci — et __ 3^(o).

\/Ar el yX/ sont réels, positifs et plus petits que i.

Les formules qui donnent, dans ce cas, (0|, —au moyen de ^i,

^2, ^3 doivent naturellement être rapprochées de celles qui ont été obtenues au n** 297.

299. Ajoutons enfin quelques remarques relatives à l'homogénéité, que le lecteur rapprochera de celles qui ont été faites au n® 119. En reprenant pour un moment les notations de ce numéro, c'est-à-dire en posant

on trouve de suite, à Taidc des formules (XVIll2 3),

(0 îoa(w|(D;,o>'3)--. X{oa(y W|,««>3J, (LXVI) / (2) £ao(w|w'i,W3)=^ ^îao ^(1)1,0)3^,

1(3) {Py(w|<*>'i,w'3)^ J^yf^y 0)1,0)3 j.

Il suit de là que, si Ton désigne par cp une fonction de (0|, (03

qui soit, comme tj^ ou ^Ca — ^p, homogène par rapport à (0|, (1)3 et du degré — i, les fonctions

ne dépendront que de l'argument u d'une part, du rapport — de l'autre ; en effet, si l'on pose

X(p'= X<p (Xo)i, \(3>^) = o {i»>iy 0)3), T. et M. — II. 12

on aura