LBS QUOTIB^TS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS
OU
■ M- un Grr^ 0
Ed se reportant à la valeur de M, on trouve enfin
342. Les fonctions snfvr» /j,cnfjr^> /j, dn ( ^> /] s'expriment aussi par des sommes de fonctions sn, en, dn, dont le module est k. Nous parviendrons plus tard à ces expressions par une voie très simple et presque sans calculs; mais il est intéressant d'observer qu*on peut les déduire, dès maintenant, des formules (LXXXVIl4 o) en décomposant en fractions simples les fonctions rationnelles, regardées comme des polynômes en sn^(w, k)j qui représentent les fonctions
sn(^,/) cn(-J,/) •l.'(^./)
sua c.nu tlnu
Le dénominateur commun de ces fonctions rationnelles de sn^(u, k) n'a que des racines simples, comme on le reconnaîtra facilement en se reportant au n" 310. On a donc
/ u ,\ sn* //
sna
fr = r,, Tj, . . ., r^|\.
Le calcul des coefficients B^se fait d'après les règles ordinaires;
on trouve ( * )
(— i)'-B;.= — j— cna;.,oanar,o;
puis, en tenant compte de la dernière forme sous laquelle on a mis M,
En faisant usage de la formule d'addition (LXXIII«) et après quelques réductions immédiates, on a enfin
(LXXXVII7) sn (^, /j = y^sn(a-+-2ar,o)j
(r = Tq, Ti , . . . , rn—\ )'
343. On parvient au même résultat en observant que la relation (LXXXVIlji), que Ton peut écrire, en posant x = sn («/, A)
etjK = sn(^,/j,
a lieu identiquement en u et t. Or, si Ton change dans cette relation 1/ en a -i- 2ar,o> où r désigne l'un des entiers 1,2, ..., /e — 1,
la quantité =jt est remplacée par -r^ -\- ^rh : donc l'expression
^ = sn
ne change pas. La relation (i), envisagée comme une équation de degré n en x^ admet donc les n racines
a? = sn(M -4- 2a,.,o), (r = o, i» 2, . . ., n — i);
ces n racines sont distinctes : on le déduit aisément de la forme générale des solutions de l'équation snx = sna (n**310); on a, par suite, identiquement en x,
3?TT(a7«— sn«a,.,o) — M^' JJ[ sn«a;.,o TT {x^k^ sn«ar,o —
= TT [a? — sn ( w + 2a,.,o)].
(*) Les calculs sont développés dans Enneper : EUiptische Functionen, p. 309.
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 0* ET DES FONCTIONS 3r. 223
En égalant les coefficients de x"^^ dans les deux membres, on
a donc
MjA/»-i JJ sn^ar,o = ^ sn(a 4- 2ar,o),
d'où, en tenant compte de la valeur trouvée au n° 3il pour M,
r = sn (^^j n = — 2 sn(a-4-2ar,o)-
On a donc aussi
(r = To, Ti, . . ., r„,).
De même, on a
(8) cn^^, n = lL^^cn{u-\-2ar,o).
(LXXXVII) '
I (9) ^^"(sï' ') = ^^* ^àn(u-^'iar,o),
344. La substitution des demi-périodes f(0|, — j aux demipériodes (0|, (03 donne lieu à des formules toutes pareilles sur la déduction desquelles il semble inutile d'insister : nous désignerons parEp E^, E3, X, X', A, A' les quantités qui remplacent alors ei, f?2> ^3? A'ï k'y K, K.'; nous poserons aussi
de sorte que Tod a
n r ^îfoU)
(LXXXVIII
-Mî)
(Lxxxvrii)
(6) A=î&5(o|^)=u>,/Èr^ = ^:
3i5. En ce qui concerne les fonctions Ç, citons les formules
(r, ?o, (^— to, j
î„.(ai..,^) =u«n— — - — ^%/. X —
Observons aussi que la transformation qui consiste à diviser Tune des périodes par un nombre impair peut être combinée avec la transformation linéaire.
Par exemple, si l'on remarque que la substitution des demipériodes (wi, Wj H- a/>a)|) aux demi-périodes (wi, (0,) rentre manifestement dans le cas i** du Tableau (XXq) et que dans ce cas la suite des indices a, p, y n'est pas altérée, on voit de suite qu'on a, quel que soit l'entier />,
> \„ ^ 2r(a>3-f-2/?fa)i)1
ir, U[ J
LB8 QUOTIENTS DRS FONCTIONS ^ BT DRS FONCTIONS d. 225
346. Voici y d^autre pari, les résultats auxquels on parvient en ce qui concerne \/X, ^^ il/et les fonctions sn (-r^» ).)» en (-gy X )>
Hn(;^,A) :
cnao,r
