LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 0* ET DES FONCTIONS

a = 3, donne

sn(M/Ei — E^, /) /El— E,

— ' / / \TTS"("V^^i— ^3-^^r.o)

ou, en remplaçant u par »

f LXXXVII. ) sn f^ , /) = 1 sn M TT !!ll^ilt«^> .

\ M / iM X 1 sn ar,o

De même

^^) en ( ^ W ) = en M I I — ^ ^ ,

\ M / J. JL ciiar,o

(LXXXVII) / (r) •

340. Dans ces diverses formules, r doit prendre les valeurs /,, /•2, ..., r„i ; on les transforme aisément en supposant qu'il prenne les valeurs

'*!> '*J7 . . . 1 /'/I It ^|1 /'j, . . . , r;i i *

les divers produits qui figurent dans les seconds membres se présentent alors comme des fonctions rationnelles de sn^;/; en par-

■y-.t /), le résultat auquel on parvient est naturellement le même que celui qui résulte immédiatement de la première des formules du n" 337, pour a = 3, savoir :

sn*M

aAXXVIU) sn(^,/) = ^snz.TT —I^-^Z^—,

' \M / M 11 I — A*sn*a;.oSn*M

On voit ici apparaître un phénomène analytique sur lequel nous avons appelé déjà plusieurs fois Tattention; y étant une fonction de u qui vérifie l'équation différentielle

il existe une fonction rationnelle z de y qui vérifie réquation diflférentielle

M et / étant des fonctions algébriques de k.

On a de même

dn*a

^snîM

(5) en ( ^, /) = cna I I 7- — --

(6) cln(^,/)=dnarT ■/";"-- ^ .

\M / J £ I — A* sn*ar,o ^n'//

3 il. C'est des formules relatives aux fonctions i, ou plutôt aux fonctions rf, que nous avons déduit les formules de transformation des fonctions sn, en, dn*, il va de soi qu'on aurait pu partir tout aussi bien des formules de transformation relatives aux fonctions 2r; nous ferons même observer que ce mode de calcul, que nous laissons au lecteur le soin de développer, présente, relativement au calcul des modules transformés /, /', un

avantage : il permet d'obtenir y/7, y//', avec leur signe ; on a en effet, par définition,

^ " 3r3(o|/iT)' ^ ~^3(o|/ix)'

et par conséquent (LI4)

*'' - 2r,(o)ll

Sy>(o)-|-|-~'V«.)

{^ = fiy f^t ^n-l)