Si Ton pose

sn 1/ = x, ^" ( m' ^ ) ~ «^^

on a

dx

— =v/(i-J7«)(i-A-«xVK

du

et, par conséquent,

dy 2 ^^

Cette équation différentielle est donc vérifiée identiquement en ar, quel que soit t, si l'on y remplace y par la fonction rationnelle de Xy que l'on obtient en faisant snu = x dans le second membre de la formule (LXXXIX4) et X, M par les expressions

(LXXXVIIl3,5).

Observons aussi que si l'on change t en t + 2m, où m désigne

un nombre entier quelconque, q ne change pas, tandis que y" de-

vient e " q"; k^ = ^^{'z)y k'= ^'^{'z) ne changent pas, non plus que K = -3^(0 |t); «K'=TKest remplacée par

(t -»- 2m)K = «K'-+-2/nK,

(*) Comparez Abel, Œuvres^ t. I, p. 3i8.

23o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de sorte que a^^^ devient a^2m,y', V^=?('^) est remplacée par ç(T-h a) = y/* V^î ^^^ quantités X, A, il/ sont remplacées par Am,

Am^Mm^ OÙ

'"■"nK

La substitution de T + am à t change d^ailleurs les seconds membres des relations (LXXXVIIIsjs), et l'on a

(r= ri, /•,, ..., r^-i).

La relation (LXXXIX4) est remplacée par la suivante

sn'u

/ " 1 \ - J en ,/ TT SP*«lm,r

puisque le changement de t en t + 2 (qui change A" en — k) n'altère pas

Mais, si l'on pose

sn(u,k)=:Xj sn (^> X;„j =rm, on a

LES QUOTIENTS DES FONGTIOiNS <i ET DBS FONCTIONS ^. a3l

et, par conséquent,

dym dx

Ainsi, si Ton se donne un entier positif impair quelconque /?, Féquation dilTérentielle

dy dx

est vérifiée identiquement en x, si l'on y remplace y par une quelconque des n fonctions de or, que l'on obtient en donnant à m les valeurs o, i , . . ., /i — i , dans le second membre de l'équation

X TT sn*a,;„,r

M XX I — x^k^ sn'asm r

et v//, M par les expressions

sTi

Elle est d'ailleurs aussi vérifiée identiquement en x si l'on j

remplace y par l'expression

/r = ri, rj, . .., r„A,

et y/7, M par les expressions

(/• = rt, r,, ..., /-n-i),