r3(ar 4-7 I 2-:) 27,(0? — j^ I 2T
')8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Çaow = - - = Vpu — e^.
y CfU ï
^a'^ /pa — ea
. ^% u \/pu — ^3
Çoa '^ Çyo çya *^
;ro ?Y(
(3) pu = cgt-+- î*o= «p+ ?^o = «y-^- îyo»
(4) 3pi/={îo-f-?^o-^Çro'
ey — Cfx «a — ^B ^3 — ^y
^»x ^y — ^a «^a — ^p (5) pa = ea-+- ' , = cpH r-,^ = c.
(6) Ç.V = !zik = !zl«r
I îao w? = /e^ — ea,
(2) A=Î2iW3, ^•'=îî3t«>i,
îao ( w -H Wa) = — /e»— cp y/ea— Cy {oa w
FORMULES. 281
(1) ?âo(") = — î?o(w)î.o(w),
(3) îpy(w)= — (^?—«r)îor(")îaY(")-
(0 î;*o(«)=[^a-^?^-îîo(")][^oi-^;-Heâo(")]>
(î) ?iît(w)=[«-^(^a-^p)Sîa(")][ï-^(^a-^r)îîa('Ol»
(3) ^'fi\{u)=[i--^l^(u)][e^—eoL-h{eo,-e^)^ly(u)].
(0 îâo(")=P«— ^«=— Cw- ^a,
(2) — ^^-;; -^ =p(w-f-a)a)~e«= — Ç,?/-ea,
(3) («p— ^a)(^y— ^a)?îa(M) = — Ç^W-
(4) (ep— Ca)î*p(a) = — ÇpM — tfa,
(5) îpo(«)ÎYa(«)=;^„^:^)=Ç«-Ç«M-
(6) («ï — ep)lap(«)îoï(«)= Çp« — ÇjM,
(7) ai(«')^a+i(f)-^.(»')3'a-».,(«') = 't&â+,(o)ap+,(i')V'(«')'
(8) a^^,(i')ap+,(0-&f+,(f)S^^,(.') = irS«^,(o)&,(P)a«+,(P).
a82 CALCUL DIFFËBENTIEL.
?oy" S"Y<' îpY« — Î0Y« SaT« îpï"
(3) ?Py(« + «)= .-(.Y-e«)(eY-ep)5,'Y«?^Y«~~
(a) $PY(wH-a)îpY(w — a)= ■ ^ ,, ""' >
saY^
'^[îoY(w-4-a)-f-$oy(w — «)] = "^^oyMÎay^îpY^» 3[$oy(w -h a) — Îoy(w — a)] = a^oya {ay w î?y ", (3) { 5l[{py(w -+-a)-hîpy(w— a)] = 2$py wj^ya,
5l[îpy(a-t-a) — îpy(w — a)] = — a(ep — e^) îoyW îaY"îoya Ϋy^ a =1— (ey— Ca)(cy—ep)Ç«yaJ»ya.
(i) $oa(w|^w,,Xa)3)= XJoaf yU),,a)3 j,
(2) îao("| >'«*>,, Xa)8) = ^îao f ^ (01,0)3^,
(3) îpy(a|Xco,,Xa)3)= {^y^y 0)1,0)3 j.
FORMULES
sn(u,k) = ^ei — e^^
Vfil—C3
to,,a>, ,
cn(a,X:) = Ç,3
dn(M,A-)=5,3( -—^2
sn
en
Vpu — Ci
l i /\ /p?/ — ei
sn'a = cnudnu, en' w = — sn w dnz^, dn'a = — A**snw cnu.
sn*M -f- en'w = i, dn*a-h k^ sn'w = i.
284 f CALCUL DIFFÉRENTIEL.
(0 ^Bf 5n'îM=: (1 — sn«w)(i — A-ïsn«M),
(•2) ^^^ cn'*w = (i — cn*w)(i — A:*-t- A:'cn*a), (3) ^ dn'«M=(i — dn«M)(cln«i(— I-+-A»).
^0 to,v/e, — ^3 = K,
(4) .•K'=^Sî(o|T),
/fix « ^'(^/
(6) sni«= -- ) '■■,
(8) dn«=i/it' liilf.
(7) cnM =
FORMULES
LU (fin).
Or
(r = /-iiZ-j, ...,r„i),
^", =^rp'(v)
Aa-f-i
en particulier ^, = 6, = ^3 = ^v — -J, ♦ pour /' ^ =b I . ± :3i, . . . , ±: — ; — ,
ri
/'' — ''l' 'JJ • • •> ''n- l\»
rrt-l
«■"f.,,.,Il|^.î.,„.,-Ï^.K^.],
''■'L Hn) J
//• = n, ri, ..., '•„A-
286 CALCUL OrFFÉBENTIKL.
sn(— u. k) = — sn(M, A), (i) { cn{— u, A) = en (m, A:),
dn( — M,X:)= dn(u,k),
sn(u -h 2 K ) = — sn M, {'!) { en (m -4- 2K) = — cnei,
dn{u-\- 2K) =z dm/,
sn(w -+- 2tK') = sni/,
(3) { en (a -+- 2£K'; = — cnu,
dn (w -f- 7.ili') = — dna,
sn (w -4- 2K -h 2eK') = — snji,
(4) { en (w -h 2K -4- 2tK') = en M,
f dn(a -t- 2K 4- 2tK') = — dni/,
sn(a-4- K) = T — ,
dna
, sn w
(5) < cn(w4-K)= — A-
dn(a-4-K) = A-'
dnu
(In M
sn (m -h iK') — -r y
A snM
(<)) < cn(w-HtK)=: — .- ,
A sn u
, . ...,. .en//
an ( // -i- / K ) = — / y
sn a
sn(// -h K -f- /K )= -r- ,
A- en//
(7) { cn(/^ -h K -+- /K') = — / --
A en//
dn(//-hK-4-/K')=r /A' ^"''
en //
FORMULES. 287
sn M en rt dn a -f- sn a en M (In M
(1) sn(a-t-«) = ,- — ; j
^ I — A* sn* w sn*ri
en u eu a — sn u (in iisno <lna
(•2) ' cn(w-f-a) =
(3) dn(w-f-a) =
I — X* sn* u sn*a dn /Y dn r/ — A' sn u en m sn « en a
I — A* sn' w sn*«
. ,^ ^ , 7 ?n // ena dnflf
, (4) sn(^f -h rt ) H- sn(M — a) >-— r— >
. ^ , ^ , '2 sna en// dn//
(5) sn(«/-ha) — sn(w — ri) — -— ,
,-. , . , 9. enwen^
(^6) en(w-f-a)-Hen(M— flr; - - ,-- — »
I — A* su*// sn*a
, , / V X — >. sn// dn// sn<r7 dna
(7) en(//-hrt) — en (// — «) =
( 8 ) dn ( // -h a ) -^ dn ( // — /7 ) I-
(9) dn(// -H a) — dn(/^ — «) =
I — A' sn*// sn*a 9 dn// dna
I — A* sn*// sn*a — 7. A* sn // en // sn <7 en f/
I — A* sn*// sn*a
, , , . , sn*// — sn*r/
(1) sni// -\-a) sn(// — a)= j^; — ; 3—,
I — A- sn*/* sn*a
, . , ^ , , rn*r/ — dn*/7sn*//
(•2) en(// -h «) en(// — ^/ )-- — — . — ,
' ^ ' I — A*sn*</ sn*/*
,., ^ , , X , / . dn*a — A*en*rt «n*//
{ >) dn(// -i- rt)dn(// — ^) = ,— r
- ' ^ ' ^ ' I — A*sn*asn*//
'i88 CALCUL DIPFÉRKNTIEL.
(l) El(v,-.)=^ (,
(î) El/p, ^j = ^ y/ei — e» V^ei— «jîo>(2«|t).
s„(„,X)=J.El(.^"g,l),
(5) EI(t^-f-m-h/iT,T) = EJ(p,T),
El
(x=El(»., ^), ^ = El(«',^). ^ = El (p + «.,;;),
I H(.r) ( j) sn j = - - — - — .
FORMULES. 289
H (X -h 2mK) = (— i)»* n(x)y e {x-T-imK) = e(T),
Hi(x-+--2mK)= (— i)'»II,(ar), Oi (a: -h a/nK) ==81(^7),
H (a7-+-2/ntK') = (-ï)'"AH(x), 8 (ar-T--;t/n/K') = (— O^A 8^^), ^1 11,(07 4- 2miK')== AH, (J7), 8,(a7-h2/ntK'; = A8|(a:),
. lit' TZ ^ — Ht 7C ^
Il (ar-+-iK') = ïB8(a?), 8 (x -^ ÎK' ) ^. i\Ul(x), H,(a7-+-tK') = B8,(a7), 8,(37-^ tK')= BII,(ar),
1t K^ Il /.r B = e* k ~î K".
' ^ ' e(ar)
(2) Z(a:-t-aK) = Z(x),
(3) Z(:F-+-2iK') = Z(a7)- ^,
(5) Z(o) = o, Z(K) = o, Z(tK') = 00 (pôle simple; résidu = 1). T. et M. — II. 19
Transformation linéaire.
L= ^aî(0|T) = û, /k,— E,=
tL = tL = ûj Vfil — Kj = jr= 9
cd
ab (-1) «*'
FORMULES
LXXX (fin).
sn{u, l).
snu
A: sn-7 A:
sn-r
cn-T
u sn-77-
ik
ik
cn{Uj /).
dii(ii, /).
en a
dni/
dnp
dnjp
*•" iJk'
"" ik'
en-r
cn-T
dn-r^
en-rr
lA'
El [(a — pT)P, T] = El [p, t] i-«Y-^«Y-»^i,
pt
<«? — Py = i, Ppair.
282 CALCUL DIFFÉBENTIEL.
>ay(u -I- g) = -=-' !- ■ = ^ ■ —
|oy(«^a)î.y(«-g)= ^-^—A^r^^^^^-^,
(a) î?y(w-+-a)îpy(w — a)= ^ ^-j ^^I-,
! + (««- eY)jT-i??T«
•ay
3[îoy(M-Ha) — {oy(w — «)] = 2ÎoY«îay"îpy«, ( 3 ) ( 51[ÎPy(" -+- ût) 4- îpy(a— a)] = '2$py w {^y^»
a =1— (^Y— ea)(cy--ep)Ço'yWÎÎY«•
^0 îoa ( w I ^'Wi , >^ws ) = X Joa ( y w, , 0)3 j ,
(2) îao("|Xw,,X(03)=:^Î3(0 f y 0)1,0)3 j,
(3) ÎPy(w|X0J,,X0)3)= îpyfy 0)i,0)3J.
FORMULES
sn
dn(M,A-)=Ç,3( -7=^^T— u)i,u)3) sn^M/ci — 63, A:; = *
en (a ^e\— e^, k) =
y/p y/- — gj v/p a — «3
dn(a\/ei — ^3, A:) = ■ . ■- >
sn»(a v^^i — 63)
sn'w = cnwdnw, en' M = — sn u dn w, dn'a = — A'snw en a.
sn'«-+- cn'M = i, dn*MH- A'sn'M = I.
(Vt) (3)
CALCUL DIFFÊBEKTIKL.
g„'i„ (,sn»M)(i — A'sn'M), ç„'t„ = (,cn'K)(i-*'-<-**cn«tt),
dn'« u = (I — dn»«) (dn» t(i — i -t- ^')-
(i) toiVCi — Cl ■= K,
sn î* = -7^ 7~Tr"\" '
cnM =
Fig. I.
z = sn(a, A).
