I. — Séries et produits infinis à simple entrée

1. Si a désigne un nombre réel ou imaginaire, nous emploierons l'expression valeur absolue de a, que l'on réserve d'ordinaire au cas où a est réel, avec le sens que l'on donne habituellement, dans la théorie des nombres imaginaires, au mot module, qui a, ailleurs, des significations diverses : cette valeur absolue sera désignée par le symbole \a\.

Nous supposons connues les propositions élémentaires relatives aux séries à termes réels ou imaginaires, la notion de convergence absolue, la possibilité de changer l'ordre des termes dans une série absolument convergente et de grouper comme l'on veut les termes d'une pareille série, chaque groupe ne comprenant qu'un nombre fini de termes, enfin les règles relatives à l'addition et à la multiplication des séries.

T. et M. — I. 1

X'V' INTRODDCTIOU.

' • 'Nous désignerons par le symbole

la somme d'une série convergente

«1 -f- aj -f- ...-+- ûf/i -+-... .

Nous aurons souvent à considérer des suites de termes dans lesquels V indice, qui sert à distinguer les termes, peut prendre des valeurs entières positives, nulles ou négatives : une telle suite est donnée quand on se donne la loi qui détermine chaque terme en fonction de Tindice.

Supposons essentiellement que les deux séries

soient absolument convergentes; nous représenterons alors par l'un ou l'autre des symboles

le nombre obtenu en ajoutant les sommes de ces deux séries; c'est encore, si l'on veut, la somme de la série

«0-+- («1 4- a i)-+-(aîr+-a t )-+-.. .-h (a,»4- a n) +•• -,

dont le (/i-Hi)'*"* terme est an-\-a n» On pourrait d'ailleurs grouper les termes d'une infinité de manières.

On a besoin quelquefois d'exclure de la sommation un ou plusieurs termes de la suite, le terme a© par exemple : on emploie alors des signes particuliers que nous indiquerons plus tard.

II peut être utile de faire observer que la façon dont nous avons précisé la signification des précédents symboles rend incorrectes quelques expressions dont l'usage est courant et dont nous nous servirons nous-mêmes à l'occasion quand elles ne pourront causer

aucune ambiguïté : dire que la série

est convergente ou absolument convergente semble inutile, puisque, autrement, l'emploi du symbole serait illégitime : dire que cette série est divergente est encore plus incorrect. Dans ces façons de parler, ce n'est pas à la somme de la série qu'il faut penser, mais uniquement à la loi de succession des termes de la série. Pour que le langage fût irréprochable, il faudrait employer des mots différents.

2. Nous allons donner maintenant les propositions élémentaires relatives aux produits inGnis (*). Considérons la suite infinie