I -T- «1 , I -+- ûtj , . . . , I -h a/i

et posons

On aura évidemment

P/i — Pft— 1 = Cln P/i-l »

P» = I -+- ai -h a, Pi -+- as Pt 4- . . . -H a;, P^-i ,

de sorte que, n grandissant indéfiniment, P,, tendra ou non vers une limite suivant que la série

I H- ai-+-^i,Pi-i-. ..-HartPrt i-+-an^iPrt-H...

sera convergente ou non, et cette limite, si elle existe, sera la somme de la série.

Si cette série est convergente, \e produit infini

(i-Hai)(i-i-aî). ..(i-Ha;»). ..

a donc un sens et Ton peut lui donner pour valeur la somme de

(«) On peut consulter sur ce sujet le Traité d* Analyse àt Cauchy et le Mémoire de M. Weierstrass : Ueber die Théorie der analytischen Functionen {Crelle, t. 51); nous empruntons l'emploi de la série que nous nommons équivalente à M. Mittag-Leffler {Acta mathematica, t. I, p. 3o).

la série : cette sérîe est dite équivalente aa produit infini; a«, «2, ..., û/i, ... sont les termes du produit infini; i-f-o,, 1 4- aa, . . . , i 4- ûT/i, ... en sont les facteurs. Toutefois, afin de conserver aux produits infinis les propriétés essentielles d^un nombre limité de facteurs, nous ne laisserons pas à la notion de produit infini la généralité qui précède.

3. Avant de préciser les restrictions qui vont être apportées à cette notion, considérons le cas où chacun des termes an est réel, positif ou nul. Les nombres P<, P2, . . . , P«, . . . sont alors positifs et au moins égaux à un ; la série à termes positifs, équivalente au produit infini