Si de même on remplace dans la formule (XVII|) a par
= eTQi"
228 CALCUL DIFFÉRBHTIBL.
w, par — (ce qui change 5ens = a[x — 4- avwj j, puis, simulta-
némenty u par — u et s par — s, on reconnaît que le produit des facteurs primaires qui correspondent aux nombres [jl ^ — r(mod. /ï), c'est-à-dire aux indices s pour lesquels on a
wi arn-i
est égal au produit de
/ ar-hi \ / 2r-+-i — /i \
^y a)|-4-Wjl c^l (i>i — cu] 1
/ 2r-+-i — /i \ cr,(aH tu,)
par une puissance de e dont Fexposant est
— un — ^^ — (I), -4- (03 ) -h — Pl — ^^ — (Oi-hcojl. On a d'ailleurs
El=^PP^^'tDi-f-(»>3J — 2P,,
V^^/'jir-i-i \ v^„/2r-hi — n \
\1^ /2/*-hI— 71 \
et l'on trouve, toujours par le même mode de raisonnement, 2à^'\ a "")-2 n '!• = « =
en eflel, le premier membre ne dépend manifestement pas du système de nombres incongrus {modulo n) choisis pour Tq, Ti, . . .,
r„i, et l'on vérifie de suite que les deux sommes sont nulles, comme se composant de termes égaux et de signes contraires quand on prend pour ces nombres o, i, 2, . . ., n — i . On a donc finalement
(XXI,) •
Enfin on trouve de même
(XXI
139. Les formules qui précèdent peuvent être transformées de diverses manières; mais, pour ces transformations, il convient de distinguer le cas où n est pair de celui où il est impair.
Il suffit d'ailleurs de considérer le cas où n est impair (*) et celui où n = 2. En effet, si Ton sait exprimer les fonctions formées
avec les périodes — -9 20)3 au moyen des fonctions formées avec
les périodes 2Ci)|, 2(03 dans ces deux cas, on le saura toujours.
140. Soit d'abord n = 2. Nous supposerons, pour ce qui regarde les fonctions (S*, Ç, p, que l'on prenne r, = i ; on aura d'ailleurs aPi = ^1 ; donc
o*! M — i, 0)3 ) =e * ^u— î^ = e * a'aa',M
(AAii,; ^ \ I ^ / ^^1
[ =e * ^^u^pu — et;
(XXIIs) ua~,(i)3J = Cia-4-Çw-hÇia;
/wtr V / l*»*t \ , , . (ef—et)(ei—e\) (XXII,) pf a — ,(o,j = pa-f-p(i<-f-wj)— ei=pa-4- ^^ __^
(') Il suffirait même manifestement de ne considérer que le cas où n est premier impair, mais les formules qui suivent immédiatement ne seraient en rien simplifiées si nous faisions cette restriction.
qSo calcul différentiel.
Ces deux dernières formules donnent le moyen de calculer H|, H3, E|, E3 et Ton trouve successivement
(XXIU)
/CO, IcDi \ C|(0,
(XXII5) E3 = pa>3 -4-p(u)j-+- toi) — ei= Cj-t-ffi — e, = — 2^1,
a>, 3(0, ^tO| , (et— ei)(e3— g|),
d'où, en se reportant à l'expression (XIV3) de p — >
(XXIIj) Kl = e, -f- 2 /e, — Cj /ei — 63 .
Enfin, puisque Ei -h E24- E3 doit être nul, on aura (XXII5) Ej=ei— ^V^i — ej /ei — ^3,
formule qu'il serait d'ailleurs aisé d'obtenir directement. La fonction ^ = pw vérifie l'équation différentielle
\du] la fonction
(e,— fi)(e3— Cl)
doit donc vérifier l'équation différentielle
\cfll) =4(- — E,)(^-E,)(--E3),
résultat que le lecteur pourra établir directement.
141. Dans les formules relatives aux fonctions (3'<, (S'o, 3*3, nous supposerons /•o= o, ri = i . On aura alors
LÀ FONCTION du ET L£S FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 23 f
En tenant compte de Fégalité (XVa) pour a = — et a = i ,
Jm
des relations entre les carrés des fonctions (3'w, d^iU et la fonction pu, enfin de la valeur trouvée pour p~(XVl2), on trouve sans peine les formules
(XXIII
Cfu —
— «i)(«i— «s) — rr^^^ I
(ei — gO(et — g») P
= e* {d\u — /et — gj /«i — «3 0** m) /gi — g, — /gi — gj
= g * (pa — gt — /g| — gf /gt — gj ) 0** w.
De même
Cette expression peut se transformer de diverses manières; par exemple, en remarquant que l'égalité (XV3), dans laquelle on a
permuté u et a, devient, pour a = — eta = 2, p = i,Y=3,
cr,(,,+ ^)a',(a-^)=c^|îîla'îa + (g,-g,)<^«"c^f?
on trouve
îiif! I ^* T"
g * I C}w-h(gi — gj) <5'*a
= g « I o'îa-+-'^^ (g| — gOo*'" I*
Après des réductioDs faciles et ea faisant usage successivement des égalités (XVI2), (XIV), (XI4), on trouve encore
w — >wsj=e* (o'}M-h /ei — ej/ei — ej 0**11)
(XXJII,) / J-^ /e, — ea tf i M -h y/g» — gitf j m
v/ei — e8-f-/ei— e.
= e * a''w(pa — Ci -+- ^ex — et /«i — ^3).
Enfin on aura
<•!«' -rf / i \ gt«*
1/ I wi \ -'rtii+-~ a'3(w-t-wi) -V ^ ^3 ( ^ — > (Os ) = e * (S'a a — ^— ^ = e * ^\U(ixU
Dans ces diverses formules les radicaux ont le sens précis qui a élé adopté au n° Hl et elles ne supposent rien, sur le signe de la partie imaginaire du rapport des périodes.
142. On pourrait obtenir de la même façon les formules relalives aux fonctions (3'fw | Wi, -^y <3'a( m | (0|, — j; mais on les déduit des précédentes, en remarquant que Ton a
(rJwIto,, ^j =cfî^w|'^, (o,j,
en sorte qu'on obtiendra les formules cherchées en échangeant les indices i et 3 et laissant l'indice 2 invariable; il faut toutefois, si Ton veut n'écrire jamais que les radicaux ^e< — ^2, ^e\ — ea, y/^a — ^3) tenir compte, après avoir fait cet échange, des formules
LA FONCTION ^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. a33
(XIII3), (Xe); on obtient ainsi
u\tt}i, -^j = e * c'a (fiU = e * (^*u^pu — es, (XXrV,) M|^|a),, îî^ j = eaM-t-ÇM-h^jM,
