XXI,) H, =T.,4-^P

137. On peut déduire de la formule fondamentale, par le changement de </ en ii -\ ^-y u — (1)3 ^ > w -f- W3, des expressions

" /in*

analogues pour les fonctions (S'afw — ? 0)3 j (a=i, 2, 3). Nous

donnerons un peu plus loin un exemple de ce calcul; mais il est plus commode de déduire ces résultats des expressions de ces foDclions décomposées en facteurs primaires (XVIIi), en employant la même marche que plus haut.

Partons donc de la formule

,,,41 ■ # » Cl), î/ CD,

T. et M. — I. i5

226 CALCUL DIFFÉRBlfTIBL.

OÙ l*on suppose

[X, V devant prendre tous les systèmes de valeurs entières. Soient ''oî ^M ''2> • • M^/i-M ^ entiers tels que la différence de deux quelconques d'entre eux ne soit pas divisible par n; pour faire coïncider ces notations avec les précédentes, il suffira de supposer r^ divisible par n. Groupons ensemble, dans le produit infini, les facteurs primaires tels que les nombres [x soient congrus à — /' suivant le module n; les valeurs de s auxquelles ils correspondent sont données par la formule

, (1)1 iroii

s = 2Li coi-4-2va)j — ir — =5 >

e que, pour i uii uc ucs iduicurs priiuciireb, s — s'écrire

en sorte que, pour l'un de ces facteurs primaires, s peut

Le nombre (2r4-i)— n'est jamais congru à zéro suivant le sys-

tème de modules 2a)|, 2103; quant aux nombres a', v, ils doivent prendre tous les systèmes de valeurs entières; d'après la formule (Vf), le produit de tous ces facteurs primaires sera donc égal à

\ » /^-"q-^'-'-)-^TP(^;— '■)

Par conséquent (i^ (" — > ^2) sera égal au produit

multiplié par une puissance de e dont l'exposant sera

Et m' V^v/^r-H-i \ w* v^ /9.r-\-i \

(r= To, ri, . . ., rn-t)'

D^ailleurs Texpression (XXI4) de p f a — > 0)3 j montre que Ton u

l'exposant de e se réduit donc à

(ri

Quant à la quantité ^Isf W| j > on démontrera qu'elle est

égale à \] v^i, soit directement, comme plus haut, pour une

somme analogue, soit en faisant u = — dans {^expression de s(wM> W3 j, qui devient alors égale à U| ou à r^ H P|. Fina-

lement on a donc

Mais on a aussi

Cr'IUH (Di j 3'(MH tOi-f-(*)|j

à cause de la formule (XII3), et par conséquent on peut encore écrire

(XXI,) *.(«!^,u.,) = e .'•. TT-^ T^-