Supposons maintenant /i impair

Les formules qui donnent les expressions de

peuvent alors être comprises dans une formule unique. En effet, les n nombres 2 r -I- I — /i,(r=ro, r,, ..., r^,.,), qui figurent dans deux d^entre elles, sont tous des nombres pairs et la différence de deux quelconques d'entre eux n'est pas divisible par n; il en résulte que les n nombres 2r + i — n peuvent être regardés comme formant un système complet de nombres incongrus (modulo /i), absolument comme les nombres r\ inversement les éléments d'un tel système peuvent toujours être mis sous la forme précédente, en sorte que rien n'empêche d'écrire les trois formules (XXIt.o) sous la forme unique

(r= ro, r,, ..., r„i), (a = i, 2, 3).

On peut encore supposer ro = o, les nombres Ti, rj, ..., f'n^h étant alors incongrus entre eux et incongrus à zéro (modulo n); alors les quatre formules relatives à

(I ^1 \ / I Wi \

prennent la forme très symétrique

(XXVI,) ; / ar \

(r = r,, rt, ..., r^-j), (a = i, 2, 3).

Dans ces formules figurent /i — i nombres pairs ar qui sont assujettis à la seule condition qu'aucun d'eux n'est divisible par n, non plus que la difi'érence de deux quelconques d'entre eux. On pourrait, en détruisant à la vérité un peu la symétrie, introduire aussi bien n — i nombres impairs ar — i assujettis exactement aux mêmes conditions; il suffira pour cela de remplacer, dans les

formules précédentes, — a)| par — "^—tùi -|- (0| et d'appliquer les

LÀ PONCTION (iu ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. a35

formules (XII3) relatives à Taddition d^une demi- péri ode; on trouvera sans peine, en observant que les n — i nombres ar — i sont tous des nombres impairs et que la difTérence de deux quelconques d^entre eux n^est pas divisible par /i, de même que les n — 1 nombres ar — n.

^ / ir — I \

2lr— I

tj,-«-««Pi