V = TUT
On tire de là
Par suite, toute puissance positive ou négative de V s'exprimera en composant les substitutions T, U et leurs puissances.
Avant de démontrer la proposition énoncée, observons tout
d'abord que Ton a
pu
IS
Vï s; Vï + 8 8/' \ï 8/ ~ Vï S + y/
On lire aisément de ces dernières égalités
et, en particulier,
Ces diverses relations sont d'ailleurs vraies, que n soit positif ou négatif.
149. Ceci posé, nous établirons la proposition que nous avons en vue dans un cas particulier auquel nous ramènerons tous les autres, celui où l'un des nombres a, P est nul. Puisque aS — ^y est égal à un, on doit avoir, si a est nul, soit
soit
et si P est nul, on doit avoir, soit
soit
On a donc à considérer les quatre substitutions
où Y et S désignent des entiers positifs ou négatifs quelconques.
LA FOlfCTION (iU ET LES FONCTIONS QUI EN DÉBITENT. 245
La deuxième et la quatrième se ramènent à la première et à la troisième, puisque Ton a
D'ailleurs, on a et, d'un autre côté,
par conséquent
Par suite, le théorème est démontré, dans le cas où Tun des nombres a, ^ est nul.
ISO. Plaçons-nous maintenant dans le cas général. L'identité
montre que l'on peut mettre ( .1 T"" sous la forme
où X| est, en valeur absolue, le reste de la division de a par ^. Si ce reste est nul, on s'arrêtera là; sinon, on emploiera la relation
et, en multipliant à droite par une puissance convenable T^^i, on
a46 CALCUL DIFFÉRENTIEL. — LA FONCTION ^U ETC.
mettra le second membre sous la forme
où ^1 est, en valeur absolue, le reste de la division de — ^ par ai , en sorte que Ton aura
d'où
Si ^f est nul, le théorème est vérifié, puisque alors la substitution i ^ j s'obtient en composant les substitutions T, U et
leurs puissances. Si ^i n*est pas nul, on continuera de la même façon, et, comme ai est plus petit que ^, on parviendra toujours à mettre la substitution proposée sous la forme annoncée, après un nombre fini d'opérations.
