S'S'S = S''(S'S), S'S'S = (S'SOS

les parenthèses indiquant que les opérations multiples dont elles enferment les symboles doivent être remplacées par une seule opération : la première égalité n'exprime pas autre chose que la définition même du symbole S'^S'S; la deuxième veut dire que l'opération S^S'S revient à effectuer d'abord l'opération S, puis, sur les résultats, l'opération S" S'. Cela est à peu près évident, et se vérifie d'ailleurs sans difficulté.

Il résulte aisément de là que, dans un produit symbolique de substitutions, on peut grouper ensemble plusieurs facteurs consécutifs (*).

147. En supposant toujours on désigne par S~' un symbole de substitution

tel que l'on ait

On voit alors, par ce qui précède, que les nombres a', p', y', 8' sont déterminés par les quatre équations

Y'a-H8'Y=o, yp-+-8'$ = i.

En résolvant les deux premières par rapport à a', ^' et les deux

(*) En conservant les mêmes notations, l'opération précédente S" S' S, par exemple, peut être définie d'une façon un peu différente : on suppose que les opérations partielles que l'on va décrire s'effectuent non plus de droite à gauche, mais bien de gauche à droite.

Partons des formes linéaires a'x ■+■ p'^, y" a? + ô'^, dont les coefficients sont les éléments du premier symbole (en partant de la gauche) S"; remplaçons-y les rariables x, y par les expressions linéaires a'x-i- py, y'x-h 6'^, dont les coefficients sont les éléments du second symbole S' ; puis, dans les formes transformées, mettons encore, à la place de x, y, les expressions linéaires ax-h ^y^ yx h- 5y dont les coefficients sont les éléments du troisième symbole S; les coefficients des formes finales seront les éléments du symbole composé S* S' S.

T. et M. — I. i6

24^ CALCUL DIFFÉRENTIBL.

autres par rapport à y? S' et ^^ désignant par (D le déterminant

cD = aS — Py»

il vient

Il importe de remarquer que la substitution inverse de S~* est S; en d^autres termes, on a

s-»s = ss->

On désigne par S® la substitution identique l ]> qui n'al-

tère pas les variables.

Le symbole S'' a été défini pour n entier positif ou nul; on convient de donner au symbole S"" le même sens qu'à (S""*)". Il est aisé de voir que, quels que soient les entiers positifs, nuls ou négatifs, m et n, on a

Cette égalité est évidente quand m, n sont positifs ou nuls; bornons-nous donc à établir Fégalité

s«s-« = so= ( ^ ^ )

d'où il est aisé de déduire ensuite les autres cas. En supposant par exemple /i = 3, on aura

S>S-> = SSSS-iS-»S-» = SS(SS-»)S-«S->;

comme SS~* = S" est la substitution identique, on peut évidemment la supprimer et Ton a ensuite

SSS-»S-» = S(SS-»)S-« =:SS->= So:

le raisonnement est général.

Observons encore que Tégalilé

S'S'Sri:!,

LA PONCTION C^tt ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRITENT. 2^3

OÙ S, S', S'', T sont des symboles de subslilulion, entraîne l'égalité

S' = TS-iS'-«:

on tire, en effet, de la première égalité

S'S'SS-»S'-« =TS-»S'-S et le premier membre peut s'écrire successivement

S'S'(SS-»)S'-» = S'S'S'-> = S'(S'S'-*) = S'. La même égalité entraine la suivante :

148. Les substitutions de cette nature, à coefficients entiers, à déterminant + i, jouent, comme on l'a déjà vu aux n®" 124 et suivants, un rôle particulièrement important : elles méritent de nous arrêter quelque peu. D'abord, on voit qu'en composant entre elles deux pareilles substitutions, on trouve une substitution qui appartient au même type, puisque les coefficients en sont encore entiers et que son déterminant est égal à un comme produit des déterminants des substitutions proposées.

Parmi les substitutions de ce type, on peut signaler les suivantes :

U est très remarquable qu'on puisse les obtenir toutes en combinant deux de celles-là, les deux premières, par exemple, et leurs puissances positives et négatives.

Que la dernière se ramène aux deux premières, c'est ce qui résulte de l'identité, bien facile à vérifier,