I. — Développements des fonctions ^u, ^olu
151. Les fonctions a*?/, (^olU de M. Weierstrass, que nous avons étudiées particulièrement jusqu'ici, offrent, en raison de leur symétrie, un grand intérêt et une grande utilité; mais cette symétrie môme laisse confondues des propriétés que l'emploi d'autres éléments analytiques permet seul de démêler.
Ces nouveaux éléments analytiques ont été introduits dans la Science par Jacobi : leur découverte est assurément un de ses plus beaux titres de gloire (*). Ils peuvent être, comme on le
(•) Voir Lejeune-Diriciilet, Gedàchtnissrede au/ Jacobi {Œuvres de Jacobi, t. I, p. i4).
T. et M. — II. I
verra blenlôt, étudiés directement sur leur définitioD; leur étude peut aussi être rattachée à celle des fonctions du^ ^olU* Ils se présentent naturellement quand on développe ces dernières fonctions en série, sous une forme que nous allons faire connaître (*). Dans ces développements en série, comme dans les fonctions de Jacobi, les deux périodes ne jouent plus le même rôle. Nous ferons désormais la supposition suivante, qui est essentielle :
Le coefficient de i dans le rapport — est positif.
Cela revient à admettre que l'angle formé par les deux directions, qui vont u point o aux deux points 2a)|, 20)3 du parallélogramme des périodes, a la disposition directe.
X)'autre part, nous ne considérerons plus que des couples (2û|, 2û.i) proprement équivalents au couple primitif (2(1)1, 2(o,)
de sorte que le coefficient de i dans le rapport — ? sera aussi positif
et qu'il faudra toujours prendre le signe supérieur 4- dans les formules (Xc) et (XX3); ainsi l'on aura toujours
tzi
(XXVIII
J TTC f I1,Û3— II3Û, =H •
152. Nous allons d'abord écrire sous une autre forme la formule (X|) qui donne l'expression en produit infini, à simple entrée, de la fonction (^, ainsi que les formules analogues (XVIIs.s), relatives aux fonctions (3*1, (3*2, (3*3.
Nous emploierons les notations suivantes (^)
(XXVIII,^ s
(') C'est la marche suivie par M. Weierstrass dans ses cours professés à TUniversité de Berlin; c'est aussi celle de M. Schwarz dans les Formeln und Lehrsàlze.
(») M. Hermite a souvent employé le symbole w pour représenter le rapport — ■; c'est aussi la notation adoptée par M. Weber {EUiptische Functi nen und
LES FONCTIONS 2r. 3
en vertu desquelles on a immédiatement, par la formule d'Euler sinj? = — (e'"^ — ^"''^)î les égalités
simz = 7-^ ;
'initiri-^ it f/"z — q-"z-^ sinir = -.
•2(0| -Kt
(0] àÎ
/io)3 g" — g sinr =- r-
€l, par suite,
. . WW3 (I — 7*")*
D^ailleurSy à cause de la supposition du numéro précédent, la valeur absolue de q est inférieure à un, d'où il résulte que les produits
/i = <B /f^=« n -= ce
sont absolument convergents. La formule (Xi)
et la suivante, qui lui est équivaleutc,
r,,/it "-* sinz suit:
^ -TTT *^'t**i • ~'* 'IT '^^'^1 ^iWi
TT 2 0)1 J.X . ^ /iCOj
/i = i sin^z— -
algebraUche Zahien). M. Weierstrass et M. Schwarz {Formcln und Lehrsàtze) désignent par h l'exponentielle e*"'; de inùme ils désignent par H„, lî,, H,, H, les fonctions de q que nous désignerons (n" 154) par 7,, 7,, q^, q^. Dans beaucoup des formules qui suivent, c'est 7* qui figure seul; aussi a-t-on souvent employé une lettre pour désigner 7'; M. Klein emploie la lettre r, M. Hermite s'est quelquefois servi, dans ce même sens, de la lettre Q, (juc nous employons avec une signification tout autre.
peuvent donc s'écrire
ll = <B /l=:cD
(XXIX.) a-« = e'%'o.>"l^ £^;^j^-|-r.-.y«Y"*n'~^*r'
I — yln XI I — ^rî n=l 11 = 1
OU encore, si Ton tient compte de la relation
(XXIXj) S'a = e«i.w»p8l^» sint^TuTT
. 9.W| . TT ' — '>.q^'^cos2VTz -h q^^
(l-.qtn)i
De même les trois formules (XVIIa^g) relatives à rf| i/, s'.jf/, ^^k peuvent s'écrire chacune des deux manières suivantes :
n =• Il =00
