X(T) = ' « fg-J

4° x(T) = t " Xiî-j,

(rt-f-rf)(flCrf— ft) / y

214. Si Ton observe que les nombres entiers a, b, c, <i, liés par la relation ad — bc = i, vérifient les congruences

{b — c) (bcd — a) = ab -^ ac -h bd — ab* c )

V (mod. 3), ^{b — c) (abc — d)^ — cd —bd— ac-\- bc^ d )

et que, dans le cas où a el ef sont impairs, 6 et c pairs, ils vérifient aussi les congruences

(6 — c)(6crf— a) = (6--c)(aèc — c0 = 3(a«rf*— I)— 9(a6 — crf) (mod. i6),

de sorte que l'on a

{b — c) (abc — d) s i6 (—crf— 66? — ac H- 6c«rf) 4- 3 (a* rf»— i) — 9(a6 —crf)

//. ^fl. J ^ f (mod. 48),

s(6 — c){bcd — a)

^ i6{ab -^ ac -^ bd — ab* c) -+■ 3(a'û?* — i) — ^(ab — cd)

on voit que, dans le cas i** du Tableau (XX«), les formules de transformation que nous venons d'obtenir peuvent être remplacées par les suivantes :

/c-t-rfxX , el^lEl^ab^ac-^bd-abtc) -l:^(ab-cd) ,^

— --(— cd— M— flc+ftc«rf) T- (a©— crf)

De même, si l'on observe que les nombres impairs a, c, d et le nombre pair 6, liés par la relation ad — 6c = i , vérifient la con-

88 CALCUL DIFPÉBSNnBL.

gnience

(6 — c) (ôcc? — a) = 3 (a* — i)-+-9(a6-h cc?)-+-8 (mod. i6),

de sorte que l'on a

{b — c){bcd — a) = i6(a6 -t-ac -f- ôrf — ab^c) j

-+-3(a«— i)-+-9(a6-+-crf)-f-a4 P™^ ''

on voit que, dans le cas 2°, la formule de transformation linéaire de la fonction )^(t) peut s'écrire

En changeant dans ces deux formules a, 6, c, cf, t en 6, — a,

rf, — c, ^ on obtient les formules de transformation linéaire

de la fonction '/C'^)? ^^^^ '^^ ^^^ ^° ^^ ^°9 ^^"^ ^^ forme suivante :

&«r«— 1 JTti, . ^ . . «. Stc/, . j, — -- (crf — flc — W -f- flcrfî) -— - (fl6 — ed)

= (-1) • e' ^' xi-),

ù* — t tTZi. ... . . 3111

Enfin, en changeant dans les dernières formules relatives aux cas 2° et ô**, a, 6, c, <i en — rf, c, &, — a, on obtient les formules de transformation linéaire de la fonction ^(t) dans les cas 3® et 4® sous la forme suivante :

</»— 1 îiri\ , . j . . ^ 3irï