CH-C
XH-I
T-hl
305. Lies formules relatives à la transformation linéaire de la oiiction ^(t) pourraient s'établir exactement de la même malîère; le Tableau précédent s'applique aussi bien à la fonction ^(t) qu'à la fonction <p(t).
D'ailleurs, on peut passer directement des formules relatives à la fonction ç(t) à celles qui concernent la fonction ^^(t) par la
remarque suivante, que nous développerons sur le cas i^. Dans la formule
changeons t en ; elle devient
Si l'on applique au premier membre de cette formule la relation
en supposant t = — r > on trouve
Si Ton remplace maintenant a, 6, c, rf par — rf, c, 6, — a, ce qui nous laisse dans le cas i*', on obtient les formules
qui sont bien celles du n° 201.
En raisonnant de la même façon, on voit que si Ton change <2, b, c, rf en — d, c, b^ — a et simultanément o en t|; et if en ç» chaque formule relative à la fonction cp conduit à une formule relative à la fonction if] mais on ne reste pas toujours dans le même cas du Tableau (XXo); on reconnaît facilement que l'on passe des cas i*», a°, 3**, 4**, 5**, 6° aux cas i**, 3°, 2°, 6*», 5*», 4*».
On obtient ainsi pour la fonction A (t), dans les six cas du Tableau (XXe) les formules de transformation linéaire suivantes :
rt6H-fl«— 1 —hd-^d*—i
( ^„\ nw-t-o' — 1 — tm-^a — i
a + bx) i((r:) ^,(t)'
LES FONCTIO.NS 2r.
ab
(r -+- </l (— rt — 6 -»- r -t- rf )
-Kl)
(c^fi]{—a-hb-^c — fi^
— rtf-f-c«- !
206. Nous récrirons ci-dessous les formules relatives aux fonctions ç ("t) et ^(t), en ne conservant d'ailleurs, pour chacune
d^elles, qu'une seule forme. Le symbole (-), où n est un entier
impair, est emprunté à l'Arithmétique; nous aurons l'occasion d'y
revenir au n** 228; il est mis à la place de / * = ( — i) • . Nous
rappelons encore une fois que i" , où m est un entier quelconque
mTZi
et n un entier positif, est mis à la place de ^ *" .
(XLV,3
nh 'l\ .-r I
ith , V
(\ nh
207. Il est à peu près inutile de dire que les différentes façons dont on parvient à ces formules donnent naissance à une suite de congruences (mod. 16) entre les nombres a, b, Cj d, relatives aux différents cas du Tableau (XXq). Par exemple, dans le cas 3°, on a, entre autres congruences, les suivantes :
' ) (mod. 16).
(a-4-c)(a-4-2c)^ûf(c-4-c?)s=i-t-6(a — rf),
Elles peuvent être vérifiées en distinguant les nombres entiers a, 6, Cy d suivant leur reste modulo 4* Quelques-unes d'entre elles se déduisent d'ailleurs des autres en ne distinguant ces nombres entiers que suivant leurs restes modulo 2.
En tenant compte, dans chacun des six cas du Tableau (XXe), des congruences correspondantes, on peut mettre les formules de transformation linéaire des fonctions f (t) et ^(t) sous plusieurs formes équivalentes à celles des Tableaux précédents. Ainsi, dans le cas 3°, on a, par exemple,
^\a-^bz/ \d) ^{z)
208. Pour obtenir les formules de transformation linéaire concernant la fonction ^(t) dans le cas 1° du Tableau (XX«), nous suivrons une méthode moins directe que pour les fonctions f (x) ettj^(T:).
Rappelons tout d'abord que, dans ce cas i^, on a
où Ton a posé, pour abréger,
quand nous voudrons mettre en évidence les nombres a, 6, c, d
a, b^ c^ d qui vérifie les congruences (r^) suivant le module i6; nous transformerons ensuite cette fonction L en une autre qui lui soit congrue suivant le module i6 et qui vérifie les congruences (yj) suivant le module 3; cette dernière fonction pourra être alors prise pour X, car elle vérifiera manifestement les congruences (7\) suivant le module 48.
Comme les formules de transformation des fonctions ^(t) et <J^(t) dans le cas i** du Tableau (XXo),
rr/-»-rf« — 1
donnent immédiatement pour Texposant A de la formule de transformation
la valeur
X ~{cd-hd^ — I) -t-(— ab-ha^ — i) (mod. i6),
il est naturel de se demander si en prenant pour L l'expression cd — ab -\- d'^ -i- a^ — 2, les congruences (tj) sont vérifiées suivant le module i6.
On le voit immédiatement, dans le cas où le nombre pair 2, n est divisible par 4» En remplaçant alors t par t H- /i dans les égalités (IJ), on obtient les relations
/ c -^ nd-^ az\ . r . r
a-h nb -^ b-z/ ^ '
Si donc on prend pour L Texpression
( ce/ H- (i^ — I ) 4- ( — aô H- a' — 1 )
et si Ton désigne par L| ce que devient L lorsqu'on change t en /î, on a l'égalité
De même, en remplaçant, dans les égalités (s), t par -^—^ et
LES FONCTIONS &• 8l
désignant par L2 ce que devient alors L, on a Pégalité
De ces deux égalités on déduit immédiatement, puisque n,.6, c ^^>iit pairs et a, d impairs, les congruences
Li — L ^ an )
(mod. 16), Lt — L S2/1 )
qui mettent bien en évidence que les congruences (r^) sont vérifiées, suivant le module 16, en prenant X = L.
Ainsi, dans le cas où n est pair, toute fonction congrue à cd — ab-^a^-hd^ — 2, suivant le module 16, et s*annulant pour a = i,rf=i,6 = o, c = o, pourra être prise pour X, si elle vérifie les congruences (y^) suivant le module 3.
Or, en vertu des diverses valeurs trouvées pour Aj,,, A2n^i ? on a les congruences
L5£?(c — 6)H-2(rf*— i)sa(c — 6)H-2(a»— i) (mod. 16),
et, par suite, puisque a et ^ sont impairs,
L^d(c — 6) = a(c— 6) (mod. 16).
D'un autre côté on a, à cause de l'égalité ad — 6c = i , les congruences
rf(6c-+-i) — a=(û?»— i)aso |
a(6c-M)-c£=(a«-i)rf=o P™^ ' ^'
d'où l'on déduit, en multipliant par le nombre pair b — c,
{b — c){bcd^a)-\-d(b — c)^o | (6 c)(«6c-rf)+«(6-c)^or'"*"'-'^)-
On a donc aussi les congruences
Ls(6 — c)(6cûf— a) = (6 — c)(a6c — rf) (mod. 16).
D'ailleurs les deux fonctions
(6 — c)(6cûf — a), {b—'C){abc — d)
sont congrues suivant le module 3; en effet leur différence est
{b — c){a — d){bc -h 1) = (6 — c)(a — d)ad, T. et M. — n. 6
et l'un des facteurs b — c, a — d^a^d est nécessairement divisible par 3, car s'il en était autrement il faudrait que l'on eût à la fois
a = e, b ^= t\ c = — e', c? = — e, e, e' étant égaux à db i ; on en déduirait
1 = acf — 6c = — e*-He'»so (mod. 3),
ce qui est absurde.
On aura donc vérifié que, pour n pair, l'une ou l'autre des deux fonctions (6 — c){abc — rf), (6 — c){bcd — à) peut être prise
pour la fonction \y * b si l'on constate que l'une ou l'autre de
ces fonctions satisfait aux congruences
\c+.nd,dj \c,dj (,„d.3).
\c, a — :knc / \c, a/
La vérification de ces deux congruences est particulièrement aisée, si l'on fait porter la démonstration sur (b — c)(bcd — a) pour la première, sur (b — c){abc — d) pour la seconde. On a alors à établir les deux congruences, suivant le module 3,
(b — c — ind)[bdc — a-+-2n6(rf*— i)]— (6 — c)(Mc — a) — 2n^o, {b — c — 'i.na)[abc — d — 2nc(a*— i)] — {b — c){abc — d) -— in ^o,
ou, en supposant n premier à 3,
— 2nbd(d^— î) — d{bdc •^a)-^b{b'' c){d^— i) — i = o, H-2nac(a* — i) — a(a6c— d) — c{b — c)(a*— i) — iso;
or les nombres d{d^ — i), a{à^ — i) sont divisibles par 3 puisque ce sont des produits de trois nombres entiers consécutifs; on a donc à établir les deux congruences
-rf(*dc-«) + *(*-c)(d.-.)-. = o I ^^^^^^ — a{abc—d)^c{b—c){a^ — i) — iso )
En retranchant des deux membres la quantité ad — bc — i,
elles prennent la forme
c(c— 26)(a'— i) so ) ou
Si a est divisible par 3 ou si ef est divisible par 3, Pégalité ad — èc= I montre que l'on a
6c = — I (mod. 3),
d'où l'on conclut que 6 + c est divisible par 3. La vérification annoncée est donc faite.
210. Nous nous sommes bornés jusqu'ici à considérer le cas où le nombre pair 2/7 est divisible par 4; mais il se peut que n soit impair et dans ce cas la démonstration précédente est en défaut, comme on le voit en observant qu'alors les substitutions T = T-f-/i
et T= ne rentrent pas dans celles du cas 1° du Ta-
I — /ix *
bleau (XX«).
Il nous reste donc encore à vérifier que, pour n impair, les congruences (tj) ont lieu suivant le module 48 lorsque l'on prend pour X successivement chacune des deux expressions
(b — c)(bcd— a)y (b — c)(abc — d).
La démonstration est la même que tout à l'heure, lorsque l'on envisage les congruences (tj) suivant le module 3 ; il suffit donc de vérifier que l'on a, pour n impair, les quatre congruences, prises toutes quatre suivant le module 16,
(6 — c — 2/irf)[6rf(c-h2/irf) — (a-t-yi/i6)l — (b — c)(bdc^a)— 2/1=0, (b-^c — ^na)\(b — ^na)(d-' 'inc)c — a] — (b — c){bdc — a) — 2/1 = 0, (^ — c — 2/M]?)[(a-+-2/i6)(c -\-2nd)b—d] — {b — c)(abc'-d)—2n^0j (b — c — 2/ia}[(6 — ina)ac — {d — inc)] —{b — c){abc — d) — in^o.
Cette vérification n'offre aucune difficulté si l'on tient compte de la relation ad — bc = i et de ce que, a et rf étant impairs, b
84 CALCUL DIFFÉRBlfTIBL.
et c pairs, les quatre nombres à^ — i , rf^ — i , 6(6 — 2), c{c -+- 2) sont divisibles par 8.
SU. Nous avons 'ainsi démontré que dans le cas i^ du Tableau (XXs), où a, d sont impairs et 6, c pairs, on a les relations
[b—c)\bcd -a) {b — cHabc~d)
En nous reportant au Tableau du n° 197, qui montre comment on peut décomposer dans les cinq autres cas la transformation t en
transformations (x-i-i), ( j et en transformations M "'"q^ j où a, 3
sont impairs et ^, y pairs, en faisant usage de la formule précédente et des formules (XLV) ainsi que de la relation ad — 6c = 1 et de la parité des nombres a, 6, c, d, on peut obtenir les formules de transformation linéaire de la fonction ^(t) dans les cinq autres cas.
On a ainsi, dans le cas 2°, la relation
(ft — r -t- rf ) Ibcfi — bd» — a-hb)
que Ton peut écrire, en tenant compte de la formule (XLV4) et de la relation ad — 6c = i ,
{b^c){bcd — a] bd(d*—l) &0 — îf )(</«—!) . v Y(T)=t « i » i " ^^>
La congruence
6rf(rf>— i) = o (mod. 48)
est manifeste, puisque 6 est pair et d impair. La congruence
b[b — 2c) (rf«— i) = o (mod. 48)
qui est manifeste quand d n'est pas divisible par 3, puisqu'alors d^ — I est divisible par 24, résulte, quand d est divisible par 3, de la relation ad — 6c = i qui entraîne les deux congruences
6c = — I (mod. 3), 6*^1 (mod. 3).
Dans le cas 2^, la formule de transformation de la fonction
y (t) se présente donc soas la forme très simple
qui est toute semblable à Tune des deux relations du cas i®. Dans le cas 5°, on a immédiatement
(a-^-tOiaed — b) {a-hd){abd — t)
Dans le cas 4^, les calculs sont tout aussi simples, si l^on passe du cas 5^ au cas 4° à Faide du Tableau du n° 204. On obtient ainsi la relation
{a-¥-d){abd—0 M(fa — 1> d{d-hia){b*—i) , v
En tenant compte des deux congruences
rf6(6«— i) = o ) . , . \ (mod. 48),
qui résultent immédiatement de ce que dans le cas 4"i d est pair, b impair, et de ce que l'on a ad — bc= i, cette relation peut s'écrire
la-hd){abd~t) „ / \
212. On pourrait de même déduire de diverses manières, à l'aide du Tableau du n° 204, les formules de transformation linéaire, relatives aux cas 3*^ et 6*^, des formules établies dans les cas i°, 2°, 4^, 5^. Mais on arrive plus rapidement au résultat de la manière suivante :
Dans la formule relative au cas 2^, où a, c, d sont impairs et b pair, à savoir
changeons t en ; nous aurons
ib—c){bcd—a)
appliquons ensuite la formule
en prenant
d — ex
^ b — az' ]a relation précédente deviendra
{b — c)[bcd—a)
elle rentre toujours dans le cas 2^. Changeons maintenant a, 6, c, rf en — <i, c, 6, — a; nous aurons
(c — b) i—abc-i-d)
^{a-^-bzJ <p(t)'
et celte formule rentre dans le cas 3**, puisque a, c, rf sont impairs, b pair.
En raisonnant de la même manière sur la formule relative au cas 4*^9 on voit qu'en changeant dans cette formule a, bj c, d en
— rf, c, 6, — a, on obtient la relation
^\a-^bx) <p(t)
où 6, c, <i sont impairs et a pair et qui rentre donc dans le cas 6^.
Les mêmes changements simultanés de a, 6, c, d en — <i, c, 6,
— a transposent donc entre elles les formules relatives aux cas 2® et 3° et les formules relatives aux cas 4° et 6°; ils transposent aussi entre elles les deux formules relatives au cas i^ et les deux formules relatives au cas 5°*
213. En résumé, nous avons obtenu, dans les six cas du Tableau (XXs), les formules de transformation linéaire de la fonction x('^) V"^ ^^^^ trouve réunies dans le Tableau suivant :
