On tire de l'égalité précédente

logh(T) = N h 7log[— (a-i-èx)*] -i-logh(T)-i-2A:7t«,

A: étant un nombre entier qui dépend des détermina lions choisies pour les logarithmes. On peut faire rentrer k dans N, ce qui ne modifie N que d'un multiple de 24» et adopter pour les logarithmes des déterminations précises: alors N sera entièrement déterminé.

!Nous avons choisi l'argument de — (a + ix)^ compris entre

TT et -f-ir; il est naturel d'adopter pour log[ — (a -h b'zY^ la

détermination correspondante, c'est-à-dire la détermination prin- ^'fale, celle pour laquelle le coefficient de i est compris entre TC et -f- u. D'autre part, la définition de h(T)

XTZt

h(^) = e'» JJ(i-g«»)

donne, en choisissant convenablement les déterminations des logarithmes,

logh(T) = ^ -♦- log JJ (I - grln).

Mais il est aisé de voir que l'une des déterminations du logarithme qui figure au second membre est la somme de la série convergente ( * )

il=«0

2*og('-5''")»

OÙ le logarithme a sa détermination principale.

Pour éviter toute ambiguïté, nous poserons, en conservant toujours cette signification à log(i — 5^^")?

<0 iMx) = :^-4-2iog(i-?«»)

(■) C'est là uoe propriété générale qfue Too a négligé de signaler dans Tlntrodaction et que nous rappelons rapidement ici. Observons d'abord que, si x est un nombre imaginaire dont la valeur absolue

est moindre que un, l'argument de i + â; peut être supposé compris entre

et -f en sorte que la détermination principale du logarithme de i + x a le

lh(T) est alors une des détermînalions de logh(T); c^est une fonction univoque et continue de x pour [es points x situés au-dessus

coefficient de sa partie imaginaire compris entre et H — : log(i + â;) est

ainsi défini, sous la condition \x\<,i comme une fonction univoque et continue de x; cette fonction coïncide avec la somme de la série

puisque la coïncidence a lieu pour x = o. Ceci posé, soit

ri('+"->

un produit infini absolument convergent dans lequel on suppose que toiu les termes u^ aient leur valeur absolue moindre que un. En désignant par v^ la détermination principale du logarithme de i + u„, on aura

Cette série reste convergente quand on y remplace tous les termes — ^ i S ,

-^j '" par leurs valeurs absolues; elle a alors pour somme