V.= -log(.-|ii
le logarithme ayant ici la signification élémentaire. D'ailleurs, la série à termes positifs
est convergente à cause de la convergence du produit infini
Il en résulte (n* 38) que la série
J^^n ^^ J^^Ofi{l-hU^)y
dans laquelle le logarithme a sa détermination principalCi est convergente : sa
LES FONCTIONS ^. qS
de l'axe des quantités réelles. Nous aurons de même
n:=ao
(Ç) lh(T)=I^-l-2l0g(«-<l»»).
en supposant
et, finalement, nous écrirons
(tï) ih(T) = N^*4-ilog[-(a-+-6T)«]4-lh(T).
Le nombre entier N est complètement déterminé par cette égalité, ainsi qu'il résulte toujours du raisonnement du n° 181, puisque les fonctions
Ih
(T) = l^(^|^)' >og[-(a-+-6T)«], lh(T)
sont univoques et continues pour les valeurs considérées de t. C'est la détermination de ce nombre précis, au moyen de a, 6, c, d qui va désormais nous occuper : Tégalité précédente met en évidence que sa valeur ne change pas quand on remplace a, 6, c, d par — a, — 6, — c, — d.
220. Tout d'abord, nous allons substituer à la recherche de N
Talear est manifestement une des déterminations de
il en résulte aussi que la série à double entrée
ob n ti p doivent prendre les valeurs i, s, 3, ..., est absolument convergente et peut être ordonnée comme Ton veut. Dans le cas du texte, où Ton a | ç | < i, on trouve ainsi, en ordonnant suivant les puissances entières de q^
où a. est la somme des inverses des diviseurs du nombre n.
la recherche d'un autre nombre entier qui ne dépend plus que de a, 6.
Dans le cas où a et 6 sont différents de zéro, on doit toujours supposer a et b premiers entre eux, puisque ad — bc est égal à un.
Regardons a, b comme des données; c, é/ doivent alors former une solution a: = c, ^ = rf de l'équation indéterminée
ay — bx = I
et comme a, b sont premiers entre eux, toute autre solution sera donnée par les formules
c' = c -h ma, d' = d -h mb
où m est un entier quelconque. Soit d'ailleurs
a-h bz
et N' le nombre qui dépend de a, £, c', d^ comme N dépend de a, b^ Cy d; nous aurons
Ih(T') = N' ^ -+- 7log[— (a -h 6x)«] -h Ihx. D'ailleurs
Ih(T') = lh(T 4- m) = ^T-^^)^* ^ y log^, Qj/,).
à la vérité, on aurait dû, dans cette égalité, remplacer q = e""^' par
mais cette substitution ne peut que changer q en — q et, comme on ne voit figurer que des puissances paires de q, elle est inutile. On a donc
lh(T') = lh(T)-+-/W^,
et, par suite, en comparant les valeurs de lh(T) et Ih(T'),
ou encore
LES FONCTIONS d. 97
Le nombre N — t reste donc le même quand on substitue à Cy d, n'importe quelle solution de l'équation indéterminée
ajr — bx = i;
en d'autres termes, il ne dépend que de a, b; il en est de même du nombre entier 6N — rfet du nombre entier
c'est ce dernier nombre que nous allons chercher à déterminer; une fois qu'il sera connu, N sera aussi connu. Nous poserons ( * )
et l'équation (t;) qui définit N sera remplacée par Téquation
(x) lh( j- ) = Î--Η ^ — T 7ce-+- -log[— (a-+-6':)«]-f-lh'c,
qui définit le nombre [a, b] quand a et b sont différents de zéro.
Dans le cas où a est égal à zéro, nous poserons encore
bN — d=[o,b]y
en sorte que l'équation (x) subsiste^ nous prouverons d'ailleurs dans un instant que [o, 6] est nul, et par conséquent indépendant de d, ce que la définition précédente ne montre pas tout d'abord. Le nombre [a, b] est donc défini par l'équation (x) pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a. Le symbole [a, b] n'aurait aucun sens si nous y supposions b =: o,
221. L'égalité (x), en y changeant a, 6, c, // en — a, — b, — c, — d, montre de suite que l'on a, pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier «,
D'autres propriétés du symbole [<7, b] vont s'obtenir en faisant diverses substitutions dans la même égalité.
(*) Uintrodaction du symbole [a, 6] et les démonstrations de ses propriétés qui suivent, n<** 221-227, sont dues à M. Dedekind.
T. et M. — II. 7
98 CALCUL DIFFÉBBMTIEL.
En supposant où [X el V sont des nombres réels dont le second est positif, faisons
Ti = — |X -H V ï.
Les deux points t, t» sont symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Les nombres t, — T| sont conjugués; il en est de même des nombres /t, {T|, et, par suite, des nombres
ainsi les deux fonctions
/i = » A =: tB
sont imaginaires conjuguées.
Si l'on pose
il est clair que les deux points t et T| sont dans la même situation relative que t et T| , puisque
c -^ dz c-\-d{ — "^i)
sont des nombres imaginaires conjugués ; les deux fonctions h(T), h(T|) sont donc aussi imaginaires conjuguées.
Comme les coefficients a, — 6, — c, rf de la transformation
— c 4- dzx a — bz\
vérifient la relation ad — (---^)( — <^) = '> et que les points T| et T| sont au-dessus de l'axe des quantités réelles, on peut appliquer la relation (x) en y remplaçant t et t respectivement par T| et T|, et simultanément a, 6, c, d par a, — 6, — c, d. On aura ainsi
<A) lh(T,)= ^--^ ^-—T 7:fc-t-7log[-(cr-6Tt)MH-lhxj.
— ia6
LES FONCTIONS d. 99
Mais les valeurs principales des logarithmes de deux quantités imaginaires conjuguées sont elles-mêmes des quantités imaginaires conjuguées : telles sont donc les fonctions
^log[— (a-+-6x)*] et ilog[-(aH-6x,)*],
log(i — ^*») et log(i-^'*»), lh(T) et Ih(xi), lh(T) et lh(T,).
En se reportant aux équations (x), Çk)^ on en conclut
Cette égalité jointe à l'égalité (i)
donne, pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a,
(3) [-«,ô]=-[a,6], d'où, en particulier, pour a = o,
Ces égalités montrent que, pour le calcul du nombre [a, 6], on pourra se borner au cas où a et 6 sont positifs.
222.Changeonsmaintenant, dansl'égaIité(x),TenT + i. Comme, d'après la formule (e), on a
lh(T -t- .)= ^-l±i^ 4- 2 log [.-(-?)««]= lh(x) + ^^
on pourra écrire
'la-{-b(z-hï)j vib * OL V /j j2»
mais on a aussi, en remplaçant dans la formule (x) les nombres a, 6, c, d par a-^-bj b, c-{-d^d^ ce qui est permis puisque (a-hb)d — (c+ rf)6 est égal à i,
..[c-hd-hdx'] [a-^b,b]-ha-hb-\-d . i, . / # i^ n.i ..
lOO CALCUL DIFFÉRBNTUL.
on en conclut
et il en résulte par répétition, en désignant par n un entier quelconque,
(5) [a->r nb^b] = [a.b'\.
Ainsi les deux nombres [a, 6], [a', 6] sont égaux si Ton a
a!=^a (mod. 6).
