I. — Développements des fonctions ^u, ^a.u
151. Les fonctions dii^ o'^a de M. Weierstrass, que nous avons étudiées particulièrement jusqu'ici, offrent, en raison de leur symétrie, un grand intérêt et une grande utilité; mais cette symétrie même laisse confondues des propriétés que l'emploi d'autres éléments analytiques permet seul de démêler.
Ces nouveaux éléments analytiques ont été introduits dans la Science par Jacobi : leur découverte est assurément un de ses plus beaux titres de gloire ('). Ils peuvent être, comme on le
(') Voir Lejeune-Dirichlet, Gedàchtnissrede auf Jacobi {Œuvres de Jacobi, t. I, p. i4)-
T. et M. - II. I
verra bientôt, étudiés directement sur leur définition ; leur étude peut aussi être rattachée à celle des fonctions du^ d/xU. Ils se présentent naturellement quand on développe ces dernières fonctions en série, sous une forme que nous allons faire connaître ('). Dans ces développements en série, comme dans les fonctions de Jacobi, les deux périodes ne jouent plus le même rôle. Nous ferons désormais la supposition suivante, qui est essentielle :
Le coefficient de i dans le rapport — est positif .
Cela revient à admettre que l'angle formé par les deux directions, qui vont u point o aux deux points 210,, 20)3 du parallélogramme des périodes, a la disposition directe.
D'autre part, nous ne considérerons plus que des couples (2Û, , 2^3) proprement équivalents au couple primitif (20),, 2 W3)
de sorte que le coefficient de i dans le rapport — sera aussi positif
et qu'il faudra toujours prendre le signe supérieur + dans les formules (Xc) et (XX3); ainsi l'on aura toujours
Illi23— Ilsfli
■Kl
152. Nous allons d'abord écrire sous une autre forme la formule (X() qui donne l'expression en produit infini, à simple entrée, de la fonction g", ainsi que les formules analogues (XVTl3 5), relatives aux fonctions a"), rf^, «s'a.
Nous emploierons les notations suivantes (-)
(') C'est la marche suivie par M. Weierstrass dans ses cours professés à l'Université de Berlin; c'est aussi celle de M. Schwarz dans les Formeln und Lehrsdtze.
{') M. Hermite a souvent employé le symbole w pour représenter le rapport — ;
iù.
c'est aussi la notation adoptée par M. Weber {Elliptische Functi nen und
LES F0NCT10>S St. 3
en vertu desquelles on a immédiatement, par la formule d'EuIer sin^ = — .(e'-^ — e~'^), les égalités
ri —:i -
sinr = -^
■liai 11
2 II Ws -!- // q
sim: = —
qn — q~ii ■li
et, par suite,
2/10)3 U . 2/iO))+îi
sin~ sim:
D'ailleurs, à cause de la supposition du numéro précédent, la valeur absolue de q est inférieure à un, d'où il résulte que les produits
n=:c» n=:oo 7l=:oo
JJ(,^2«--2), J][(l-ry2«^2), JJ(,^2«),
it = l «:=1 n — 1
sont absolument convergents. La formule (X,)
c'a = e-<^i sin I I
7t 2W, i JL
et la suivante, qui lui est équivalente,
du — e -«^1
sin^T
■?.noi^ — u . 2«(0T-f-« "-* suit: sm:: — ^
2Wi
siii2-
algebraische Zahlen). M.Weierstrass et M. Schwarz {Fovmela und Lehrsàtze) désignent par h l'exponentielle e~'; de même ils désignent par H„, H,, H^, H, les fonctions de q que nous désignerons (n" 154) par q^, </,, q^, q^. Dans beaucoup des formules qui suivent, c'est q^ qui figure seul; aussi a-t-on souvent employé une lettre pour désigner q'; M. Klein emploie la lettre r, M. Hermite s'est quelquefois servi, dans ce même sens, de la lettre Q, que nous employons avec une signification tout autre.
peuvent donc s'écrire
(XXIX.) ^» = e--vi.'>^.-'^^-""^ff'~^^^"'TT'~'^"^^
^ ' Tt 11 IJL I— 5r2« XJL I — ^2«
OU encore, si l'on tient compte de la relation
(l — 5'2«^-2)(i qtnz'i) = I — 25-2'» C0S2('7r + gr4«,
(XXIXi) c'a = esvi.w.p'l^i sinPTrTT
De même les trois formules (XVIIa.s) relatives à (^^u, 'i.^i', ^^if peuvent s'écrire chacune des deux manières suivantes :
^, a = .2,.«... t±Ill TT i±l!!^^ TT l±j7!:^. 2 TA 14- 3-2'» TT i-+-g^-'i
x2'î rnsOf TT -4- /Tr4«
e2iiWi»''cospTt I I '- '—
TT (l-H<72/t)2
e^Ait^y-
I 4- 9.^2/t-l cOSaPTT 4- <7*«-2
(14- q^'t~iy^
-»— "n-7£^ni
= gî^iWi^''
I — 9. (/^«-i 00s 9 px -^ 7*'
io3. En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres des égalités précédentes, on obtient pour "Çu, 'C^^ u, ^o "-^ ^3'' des expressions intéressantes que nous laissons au lecteur le soin d'écrire; les séries que l'on trouve ainsi permettent d'obtenir, pour ces fonctions, d'importants développements en séries trigométriquesj c'est un sujet que nous reprendrons plus tard.
Signalons toutefois, en passant, la forme que prennent les for-
LES FONCTIONS St. 5
mules (XVII2) avec les notations actuelles, à savoir
(I) 2 7)1(0, =-2eit0f -+-7:2 î"^^(l+^^2/t)2 h
(XXX) /(2) 2r).a>i=-2e,u)f + 7r2^^^;^Ç;\^^,
f (3) 2 7),tO, =-2e3 0)2-712 2^^^^—^^^^-^.
Joignons à ces formules celle-ci :
<|ui n'est autre chose que la relation (X^) écrite avec le nouveau système de notations. En ajoutant les trois premières égalités, en se rappelant que ej + eo -|- ^3 est nul, et en comparant le résultat à la dernière égalité, on trouve la relation linéaire qui suit, entre les quatre séries qui figurent aux seconds membres des formules
