XXX.
qiii^i
154. Revenons maintenant aux égalités (XXIX) du n° 152 dont les conséquences et les transformations font l'objet principal de ce paragraphe.
Tout d'abord, nous remplacerons, dans ces formules, u successivement par (o,, lOo, (O3 de manière à avoir les développements en produits infinis de 3'W(x, (j^w^.
Remplacer u par w , , wo , W3 revient à remplacer v par - ? ^ — ,
- et z par
e '^ = — iÇ j e 2 — gi.
On observera que, en vertu de ces égalités même, les notations ^-, q -, que nous remplacerons à l'occasion par y/^,— t=
ne comportent aucune ambiguïté. Nous serons aussi amenés à
écrire v'i'"> ï"? \Ô^-) '?"» f^^ désignant un entier quelconque et n un entier positif quelconque, et nous entendrons par là
de sorte que les symboles s/i"^^ i", s/q'"'^ </" ne comporteront jamais aucune ambiguïté; nous disons cela une fois pour toutes.
Comme les produits infinis qui figurent aux donominalrurs de» formules (XXIX, 4) s'introduisent dans un grand nombre de formules, nous poserons aussi, pour abréger,
m-Kl
OTTTl/
(XXVFII4)
n =00 n = ai
72 = JJ(l + 5''"--'), '7:1= JJ(I-^'"-*)- « = 1 « = 1
Les quantités q^, ^1, q^^ qs sont liées par une relation algébrique qu'on obtient immédiatement en remarquant que les produits infinis
n=:te
JJ(i-'7"), JJ(' + ^") étant absolument convergents, on peut écrire
puis, en groupant dans chaque produit infini partiel les facteurs pour lesquels n est pair, d'une part, et ceux pour lesquels n est impair, de l'autre,
n = ce n = ao 7!=oo 7!=»
LES FONCTIONS 2r. 7
d'où
(XXVIIIs) qxqiqi = \-
loo. Si nous mettons to,, coa, w, à la place de u dans le facteur e^Yj.w,»'' q„j figure partout dans les formules (XXIX), nous trouverons respectivement
YliM, l^iWl t\xtù\
e~2~, gîwi, e~2wr.
Les deux dernières quantités se transforment comme il suit : l'égalité
montre que l'on a
7)10)2 T.iiàx T-iU-^-x)
lOj 21O1 2».
on aura donc
on trouve de même
e 2Wi = e 2 q'*
Dès lors le calcul des diverses quantités a'tOa, «s'ptoa ne présente aucune difficulté. En remplaçant, par exemple, dans la
formule (XXIX2), u par too, z par —— > z- par ? on trouve de
yjq q
suite
a'ia)2 = e 2 ^,-^4 !i__LiSL Jj^ J^(, y2«-i) Jj^ J^(, ^2«+i). En observant que l'on a
on obtient donc l'égalité
ifUWj 2
iqW
Le calcul se fait de la même façon pour les autres quantités et l'on trouve finalement les résultats qui figurent dans le Tableau suivant, dont la disposition s'explique d'elle-même
^XXXJ,)
Wi
•xqlq*
— e 2 iy/t^X
