XXXV

(XXXVa) j^'.(-) = ----'7-2r,(o),

3r'i(m + ux) =(iy"+«^-«=27'i(o),

2?2 ( m -4- /i T ) = (— I )'«+! -xn-K iq-"' ?ii (o),

3r3(m-H/iT)= — •inT:iq—"'?!:i{o).

Sr'i ( m -r- rt T ) = (— I )''+! 2 71 71 i'g'-"' 2?4 (o) ;

Il est à peine utile de remarquer que toutes ces quantités ne dépendent que de t.

On aurait des formules analogues, que nous nous dispensons d'écrire, pour les valeurs des fonctions 0(5) ou'de leurs dérivées, quand on suppose z égal à i, \Jq^ ^sl^Ji • • • > l^s quantités Sa+t (o)

LES FONCTIONS 2r. 27

sont respectivement égales aux quantités pa+i(05 q^^'^ï^'' à p, (i)

c'est -.B?'.(o).

168. Les relations entre les quantités S, (o), ^a+t (o)j envisagées comme des fonctions de ^, permettent d'établir des propositions importantes de la théorie des nombres. Aussi convient-il de nous arrêter un instant à l'étude de ces fonctions.

Voici d'abord leurs expressions en fonction de q, obtenues en posant (^ = 0, ^ = 1 dans les formules (XXXll,.(); toutefois, pour la première de ces formules, on a pris la dérivée des deux membres par rapport à v avant de faire p = o,

f 3'j(o)=7ry (— O^Can + O^V ^2) = ^^Xq^ — 3q^ -^ 5q^ — . n

S,(„)= ^gi'^ÏÏ