XXXII
d'oili
s" ^ 2ri(p + x) = — e"^&,(p), ^i(p 4-t) = - 5r-ie-2/7:^Sr,(p),
et l'on obtient de même ^.i{v -[--:), ^^{v-^-'z)^ ^^(pH-'r) au moyen de Si2(^)> ^z{^)i ^4(^)-
LES FONCTIONS 3r. 23
On voit tout aussi aisément sur ces formules comment les choses se passent quand on change ç en ç -\ Il suffît de remplacer, dans les deux premières, n par n — i et (^ par v -\- - (ce qui change /i + - + - en /i + - j , et, dans les deux dernières,
simplement p par v -i- ~ (ce qui change n -{- - en n -\- - -h -)• En tenant compte d'ailleurs de ce que l'on a
on obtient les expressions de 27, (<'+-]' ^a.-\-\ ( ^ + ~ ) ^u moyen
de 2»i(^'), 27a-(-i(t'). Finalement, on arrive ainsi aux formules (XXXIVo).
En répétant m fois les formules (3) et ii fois les formules (5), on a aussi
J 2r3(f -j- /n -t- /ix) = ^-«'e-2«'''î'3r3t;,
Enfin, en combinant les formules (4) et (6), on parvient aux formules
qui correspondent au changement de u en u — Wo.
Observons en passant que les formules (XXXIV3) et (XXXIV5), ou, si l'on veut, les formules (XXXIV7),quiles contiennent comme cas particuliers, mettent en évidence ce fait que les quotients de fonctions 2r sont des fonctions doublement périodiques, avec les
périodes 2, 21: : on prévoit ainsi le rôle que joueront ces quotients.
165. Comme le changement de v en p -|- m + /it revient au changement de z en ( — i)'^q"Zj et que les changements de v
en^H — 5 V -\ — j ç -i reviennent aux changements de z en
iz, z^q^ iz^q, les formules précédentes peuvent s'écrire
pi[(— i)'»5f'»z] = (— i)"»+«5r-«'^-2«p,(z),
p2(t^) = — pi(^), P3(ts) = Ç>k{z),
9k{iz) = p3(s);
Ces formules se déduisent d'ailleurs immédiatement des définitions des diverses fonctions p(5).
166. Les fonctions S vérifient toutes les quatre l'équation aux dérivées partielles
iVous avons vu, en effet (n° 160), que les séries qui définissent les fonctions .$•< (ç^, t), Sfa+i {^v, t), séries qui rentrent dans le type
^ A gTii/(/î+a)=+2P'7r/(/i+a)
LES FONCTIONS 2r. 25
peuvent être dififérentiées, terme à terme, soit par rapport à v, soit par rapport à t. Or la quantité
t = eTTO'(/i+a)'+2PTti(n+a)
vérifie, comme on s'en assure immédiatement, l'équation aux dérivées partielles
d^t , .dt
dv^ ^ dz '
il en est donc de même des quatre fonctions 3?.
III. — Sur quelques fonctions du rapport des périodes. Formules diverses.
167. En faisant p = o dans les formules qui donnent les expressions des fonctions 2»(t') où l'argument est augmenté de i, t,
m + n~, -» -7 ? on trouve les valeurs de ces fonctions pour
V = I, T, m-f-/iT, -7 -5 — ; — : celles de ces valeurs qui ne sont
pas nulles s'expriment au mojen de q et de 2^2(0), ^3(0), ^4(0). Ces valeurs se lisent si rapidement sur les formules (XXXIV) qu'on a jugé inutile de les récrire ici. Nous nous bornons à transcrire les résultats obtenus en faisant p = o dans les formules (XXXIV), après qu'on a pris les dérivées des deux membres; on obtient ainsi le Tableau de formules (XXXV), dans lequel ^' {^) désigne toujours la dérivée par rapport à f de la fonction 2î(p). Il convient d'observer, d'une part, que les trois quantités 2»l(^i(o) sont nulles, puisque les trois fonctions Sfa+i (p) sont paires; d'autre part, qu'il ne s'introduit pas dans le Tableau d'autre élément nouveau que 27', (o).
fy,ii) = -y,{o), ■
xxxvo h;'.(0 = o,
(XXXVO
(XXXVs)
(XXXVe)
