Lorsqu'on remplace t par — -^ on déduit facilement la
relation qui concerne h(~) de la relation (XLIIIJ3) en faisant usage de l'égalité ^\ (0)= a-izh.^^'z). On a ainsi
et, par suite,
hf-l)=C/Th(T),
LES FONCTIONS 2r. 49
OÙ G est une racine de l'unité. On a déjà fait observer (n° 181) que y/r est une fonction univoque de x; en répétant les raisonnements de ce numéro, on voit immédiatement que C ne dépend
pas de t; d'ailleurs, pour t = f, on a C := — ; il vient donc fînalement
(XLV.) h(-i)=:^h(x).
Quant aux fonctions o(t) et <1>(t), on a d'abord (XXXVIIl3 4) donc
où le signe ne dépend pas de t. Mais si l'on suppose t purement imaginaire, les fonctions z> et à sont réelles et positives ; on a donc dans tous les cas
(XLVe) <p(^i^ =,;;(-,),
et, cfe qui est la même chose,
(XLVO ^(^-}.^=o(r).
Enfin la relation <p(t) à{z) = '/^(x) montre que l'on a
d'où
= Gx(x),
en désignant par G une racine cubique de l'unité qui est la même, quel que soit t. En observant que pour une valeur purement imaginaire de t la fonction y (x) a une valeur réelle et positive, comme il résulte de sa définition, on voit que C est égal à i; on a donc
T. et M. — II. 4
186. Les formules qui précèdent nous permettent, par répétition et combinaison (n° 149), d'obtenir, chaque fois que a, ^, c, d ont des valeurs numériques données, les formules de transformation linéaire pour toutes les fonctions considérées. Le problème de la transformation linéaire des fonctions 2r et des fonctions ^{i), ^{^(t), xC'^)' ^('^)' p6ut donc être considéré comme résolu.
Parmi les substitutions linéaires dont on fait souvent usage, nous citerons les suivantes, où m et n sont des entiers quelconques,
(XLVio)
(XLVn)
elles résultent immédiatement, par combinaison et répétition, des formules précédentes.
187. Le Tableau (XX7) permet d'écrire immédiatement, dans les six cas possibles, les valeurs de o''(T) = k{T) et de ({/*(t) = A-'(t) en fonction de f'' {7) = k (i) et de tj>*(T) = A-'(t). Il suffit pour cela de tenir compte des relations
, \/e2— E3 /ei — E2
v/ei — E3 v/ei — E3
Mais les résultats précédents permettent d'obtenir davantage; on peut, en effet, en déduire ^^(t) et '^^(i) en fonction de ^^ (t) et de 4'^(x) dans les six cas considérés. En faisant usage des formules (XLII) et en posant
on a
--6c-c + ;»'-m"2rx^,(o| t)
£'" 3v+i(oh) .-^-l-ic-a + m"'-m"^^o[2)
d'où résultent immédiatement, en tenant compte du Tableau (XLIIfi), les formules annoncées dans les six cas du Tableau (XXe) :
Oo
cd t2 yfk
frf
i 2 sjk'
Sur ce Tableau, on observe immédiatement que les quantités
cpS^x) = A'-(t), ^/^(t) = A''^(t) ne sont susceptibles que de six valeurs, savoir :
Ces six valeurs sont précisément celles que prend un rapport anharmonique quand on y permute de toutes les façons possibles les quatre éléments.
188. Les formules (XLV) nous permettent d'établir quelques relations importantes qui nous seront utiles plus tard; ces relations concernent les invariants de toutes les substitutions linéaires, et c'est sur ce point que nous allons maintenant fixer notre attention (').
(') Voir Rausenbergeu, Théorie der periodischen Functionen, p. 867.
Les formules (XLIII) mettent en évidence ce fuit que chaque fonction symétrique entière de degré /i, des quantités
2r|(olT), 2r8(olT), 2r«(o|T),
ne change pas lorsqu'on remplace t par t + i et se multiplie par T^", lorsqu'on remplace t par — -•
Le quotient de deux fonctions symétriques entières, de même degré, des quantités
2r|(o|x), &«(o|t), ^lio\z)
ne change donc pas lorsqu'on remplace t soit par t+i, soit par — -; il ne change donc pas lorsqu'on effectue sur-r une transformation linéaire quelconque.
Parmi ces quotients, les plus simples sont ceux que l'on peut former à l'aide des trois fonctions symétriques élémentaires
2r|(olT)2r|(o|T) + 2r«(o|T)2r«(oh) + &Uoh)2ri(ol-:),
2r|(olT)&»(o|T)2?8(o|T).
Considérons en particulier le quotient
[&|(o|T) + Srt(o|T)-4-Sr8(o|T)]3^ &i(o|T)2r|(o|T)&«(o|T) '
il s'exprime simplement en fonction de A-. En tenant compte de la définition (XXXVII,2) de y/^, y/^' et de la relation A^^ -{-k"^=i, on trouve immédiatement pour sa valeur
On désigne habituellement par i {') et l'on nomme invariant absolu des fonctions doublement périodiques la fonction de t,
(XXXVIIs) H-)=k'^{,-k^Y '
nous venons de voir qu'elle ne varie pas lorsque l'on effectue sur T une substitution linéaire quelconque {ad — 6c = i), et que
l'on a
[51(oh) + ^|(oh) + 2r|(o|T)]3
2?Uoh)2r|(oh)2rUo|^) ^'^'
De plus, comme la relation (XXXVIc)
2rKoh) = ^l(oh) + 2rt(olx)
entraîne la suivante
S8(o|x)Sr|(o|T) + 2r|(o|T)2r8(oh) + 2r»(olT)&i(olT)
= i[2r|(oh) + 2ri(o|T) + &«(oh)?,
on voit, en appliquant le théorème fondamental sur les fonctions symétriques, que tout quotient de deux fonctions symétriques quelconques, de même degré, des trois quantités
2r|(o|T), Sri (oh), SUoh),
est une fonction rationnelle de J(t).
189. Il est facile d'exprimer J(t) en fonction des invariants ^o et gs. Gomme on a
il vient immédiatement, en tenant compte des relations
ej-H ej-t- ^3= o,
Si.
eie^-h- 6263-+- 6361 = y-,
g = (e,-e3)He3-eiy(e,-e,r-= ±(gl-27gl),
la formule
(XXXVl....) J(,)=î2il^^.
Dans les notations de M. Weierstrass, on envisage souvent le
quotient
.^ ^7 si
comme invariant absolu. Entre J(t) et cet invariant, on a immédiatement les relations très simples
V. — Généralités sur les transformations linéaires. Transformation linéaire des fonctions «f(~), 'j'C':)) xC"^)-
190. Pour établir les formules de transformation linéaire générale pour les trois fonctions {p(t), '|'('^), x('') ^® ^^* Hermite, ce qui, d'après le Tableau du n° 187, revient à la détermination d'un signe 4- ou — qui peut dépendre des quatre entiers «, 6, c, d^ il nous faut d'abord commencer par étudier de plus près ce mode de transformation.
Nous désignerons sous le nom de transformation linéaire l'o-
, . . . » 1 c -{- dx , , ,
peration qui consiste a remplacer t par — ^-y- > a, 6, c, a étant
quatre entiers qui vérifient la relation ad — 6c = i ; elle se représentera par le symbole ( ^z ) '
Si ( Tzp ( ' ■ h' ) ^0"t deux symboles de transformation
linéaire, le symbole ^
-f- dx c'-\- d! -
-f- bx a' -\- b'x ^ représentera l'opération qui consiste à remplacer t par
a'-^b'x ca' -\- de' -{- {cb' -{- dd')x ^
, c'-\-d'x aa'-v- bc' -^ (ab'-\- bd')x' a -^ b —, rr-
cette opération est manifestement une transformation linéaire. Elle sera dite composée avec les transformations
f c ^ dx\ /c'-v-d'x\ \a^bx/' \a'-\-b'x)
LES FONCTIONS 2r. 55
De même, si ( —, — tf" ) est un troisième symbole de transformation linéaire, le symbole
/ c -h dx c'-hd'-z c"-hd"x\ \a -h bz^ a' -h 6'x' a"-i- b"x/
représentera l'opération qui consiste à remplacer x par
ca'-t- dc'-\- (cb'-+- dd') —r. tf-
c"-f- d"x^ aa'-\- bc'-i- (ab'-+- bd') — r-—
et l'on voit sans peine que cette opération est encore une transformation linéaire. Elle sera dite composée avec les transforma-
lions — , , , ,, , ( — r^ •
\a -h bx / \a -h b X / \a -i- b x /
L'opération qui consiste à remplacer - par ^ est identique à l'opération qui consiste à remplacer respectivement co, , Wj par aco, + 6W3, coj, -f- dios : c'est l'opération que nous avons désignée au n° 146 sous le nom de substitution, et que nous avons
représentée par le symbole ( ,j; en sorte que, si l'on conserve les notations des n° 146-147, on voit que l'opération
/ c -h dx c'-+- d'x c" -+- d" X \a-{- bx^ a'-h b'x^ a"-\- b"x
revient à la substitution ( * )
Il est clair que dans un symbole de transformation
c -^ dx c'-\-d'x c"-\-d"x a-^-bx a'-hb'x a"-+-b"x
on peut grouper ensemble deux ou plusieurs termes consécutifs, de même que dans un produit symbolique de substitutions on peut remplacer plusieurs facteurs symboliques par leur produit effectué.
(') Voir, en particulier, la note finale du n» 146, t. I, p. 241.
L'opération qui consiste à remplacer x par -z est la transformalion identique.
La transformation (— — j—-) est la transformation inverse de
; le symbole de transformation
c -\- dz — c-4-aT
-+- ÔT d — b' représente aussi la transformation identique.
191 . Le théorème établi aux n°^ 148-150 peut maintenant s'énoncer de la façon suivante : Toute transformation linéaire peut s'obtenir par la composition de transformations de la forme
(xdr i), ( )• D'ailleurs, la répétition de /r transformations de la
forme (t ± i) équivaut à une transformation de la forme (t =t/î) ; la composition de deux transformations de cette dernière forme reproduit une transformation de même forme; enfin, la composition de deux transformations ( \ reproduit la transformation
identique, qui n'a pas d'influence. Rien n'empêche donc d'énoncer ce théorème de la façon suivante :
Toute transformation linéaire peut être représentée par un symbole de la forme
Al), /lo, /?3, ... étant des nombres entiers positifs ou négatifs.
Le premier et le dernier des éléments de ce symbole peuvent d'ailleurs être de l'une ou de l'autre des deux formes t -j- /i,
Par exemple, la transformation ( ' ^ j peut se représenter par
le
; symbole
'est-à-dire
que
l'on a
LES FONCTIONS S". Sy
192. Nous dirons qu'un ensemble de transformations linéaires, en nombre fini, constitue un groupe si la transformation identique fait partie de cet ensemble el si toute transformation obtenue en composant deux transformations de l'ensemble appartient aussi à cet ensemble. D'après cela, l'ensemble de toutes les transformations linéaires constitue un groupe. L'ensemble de toutes les transformations linéaires obtenues par répétition et combinaison des deux transformations ("^-h 2), ( — - j constitue aussi un
groupe. Si dans un groupe de transformations linéaires on peut en isoler un nombre fini ou infini qui, prises dans leur ensemble, constituent un groupe, ce groupe partiel sera dit un sous-groupe, contenu dans le groupe total. Ainsi, le second des deux groupes précédents est un sous-groupe contenu dans le premier.
Nous appellerons fonction modulaire ( ' ) une fonction univoque de t qui reste invariable pour toutes les transformations linéaires d'un groupe. Telle est, en particulier, la fonction J(t), qui reste invariable pour toutes les transformations linéaires.
Si une fonction univoque de t reste invariable pour quelques transformations linéaires, l'ensemble des transformations qui laissent cette fonction invariable constitue évidemment un groupe ; en effet, la transformation identique fait partie de cet ensemble, puisque la fonction est univoque, et la transformation, composée de deux transformations linéaires de l'ensemble, laissant la fonction invariable, comme les deux transformations composantes, appartiendra de même à l'ensemble. On dit du groupe ainsi formé que la fonction considérée lui appartient.
Une fonction univoque de x qui, lorsqu'on fait subir à t une transformation linéaire quelconque, ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs, est manifestement une fonction modulaire ; elle appartient au groupe des transformations linéaires qui laissent cette fonction invariable; telles sont les fonctions A"(t), A''(t), ^(t), 4'(')) xi') précédemment définies, et qui sont, comme on l'a vu plus haut (XXXVIIg), (XXXVIIl3,4,7), liées algébriquement à la fonction J (t).
L'étude des fonctions modulaires, qu'il convient de faire re-
(') Cette dénomination est due à M. Dedekind.
monter à M. Hermite, a été l'objet de développements considérables, dans lesquels nous ne saurions entrer ici ('). En s'affranchissant de la restriction, qui consiste en ce que les nombres «, 6, c, d sont rationnels, on entre dans le domaine des recherches qui ont illustré le nom de M. Poincaré, recherches que les travaux de MM. Schwarz, Fuchs, Klein avaient d'ailleurs préparées.
193. L'un des problèmes qui se posent le plus naturellement est celui-ci : étant donnée une fonction modulaire, déterminer le groupe auquel elle appartient. Nous allons l'aborder pour les trois fonctions <p(x), 4'('^)> 7,('^)-
Considérons d'abord les trois fonctions
On reconnaît tout de suite, en vertu des relations algébriques qui lient les fonctions cp, <1>, "^^ qu'elles ne peuvent être égales que pour des valeurs particulières de t, faisant acquérir aux fonctions ï», tj>, ^ certaines valeurs déterminées : comme il est évident, sur leur définition, que ces fonctions ne sont pas des constantes, on voit que les fonctions A, B, C sont, en général, distinctes. Or l'effet des transformations (t±: i), [ ] est de les
ranger respectivement dans les ordres
Toute transformation linéaire, étant composée avec celles-là, ne pourra donc avoir d'autre effet que de reproduire ces trois fonctions, rangées dans un certain ordre, et chacune d'elles ne peut prendre que trois valeurs quand on effectue sur t une transformation linéaire quelconque.
(') Voir, en particulier, les nombreux Mémoires de M. Klein dans les Mathematische Annalen, et son Livre Ziir Théorie cler Modulfunctionen, ainsi que le Mémoire de M. Kiepert dans le Journal de Crelle, t. 87. M. Hurwitz {Mathematische Annalen, t. XVIII, p. 528) a montré comment on peut envisager les fonctions modulaires directement et sans passer par l'intermédiaire des fonctions Thêta.
Cela s'accorde avec ce fait que l'on a
L'équation du troisième degré en ?/,
(« — ty-i- 3{z)u-= o,
que vérifie la fonction '/-'("), montre bien, en effet, que cette fonction ne peut prendre que trois valeurs pour les transformations linéaires qui laissent J(t) invariable, et les trois racines de cette équation sont précisément A, B, G.
194. Les formules (XLV) montrent clairement que les transformations (t± 2), [ — -] laissent la fonction A invariable. Réciproquement, toute transformation linéaire qui laisse A invariable peut être obtenue de cette façon, de sorte que la fonction A appartient au groupe formé en composant les transformations
de toutes les manières possibles.
Supposons, en eff'et, le symbole de transformation écrit sous la forme
( ..., -z-^-rii, , z-i- fii, , -z-i- ns, . . .]:
négligeons au commencement, s'il y en a, les termes de la forme
T-f-2/?, , qui laissent A invariable, de sorte que le premier
terme du symbole de transformation sera de la forme t -f- n où n est impair; si n n'est pas égal à i, on le décomposera en deux, T -f- /i — I , T + I , dont on fera rentrer le premier parmi ceux que Ton néglige et qui laissent A invariable. Les deux premières
transformations, (t + i), ( — - j , changent successivement A en G,
puis G en B; vient ensuite un terme de la forme ■: + /i. Que n soit pair ou impair, la transformation (z -\- n) laisse B invariable;
puis vient un terme de la forme qui change B en G; puis un
6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
terme de la forme t + n' . Que n' soit pair ou impair, nous décomposerons la transformation {y-{-n') en deux, (t — i), (tH-/i'+ i); la transformation (t — i ) change C en A, et nous prendrons la transformation (x-t-a'+i) comme premier terme d'une nouvelle suite dont nous traiterons les termes comme ceux dont nous venons de parler. En répétant ainsi le nombre voulu de fois le même raisonnement, on arrive finalement à la conclusion suivante :
Si une transformation linéaire laisse A invariable, son symbole sera formé d'une suite de groupes de termes tels que
T + I, 5 T-t-rt, , '^ — I,
groupes de termes qui pourront être précédés, suivis ou séparés
les uns des autres par des termes tels que t -h 2 w, — -; on peut
dire encore que la transformation sera composée de transformations ayant pour symboles
où n est un entier pair ou impair, positif ou négatif.
Or la transformation correspondant au dernier symbole revient à remplacer x par
I ni — n — I
on reconnaît d'ailleurs immédiatement, en adoptant cette notation, que l'on a
on aura donc, en supposant n positif,
1 2 ' Ti 2 T,,-!— 2
et, par suite,
\ ni — n — 1/ \ 1
LES FONCTIONS ^. 6l
le symbole du second membre comprenant n termes de la
forme et /^ termes de la forme t — 2. Comme on peut écrire
la relation précédente entre -Zn et t^^i ,
on a aussi
et, par suite, en supposant 11 négatif,
in — Ot — n\ / I 1
le symbole du second membre comprenant n termes de la
forme t + 2 et /i termes de la forme — -•
On voit, en résumé, que les transformations qui laissent y2'(T) invariable s'obtiennent en composant les transformations de la
forme (t rt: 2), ( — - ) ? et pourront être représentées par des symboles de la forme
., 1 -\- irix, j 1-^-111%, > •
/i,, ^2, ••• étant des nombres entiers positifs ou négatifs; d'ailleurs, le symbole peut être limité à droite et à gauche par des
termes de la forme — - ou 7 + 2/2.
195. Les transformations linéaires qui laissent la fonction y (t) invariable appartiennent certainement à ce type, et, en vertu des relations
il est clair que l'elTet sur la fonction x(t) de la transformation précédente est de la reproduire multipliée par une puissance de i
dont l'exposant est le sixième de la somme
Si donc on veut que la transformation laisse xi'^) invariable, il faut et il suffît que cette somme soit un multiple de 24.
