Puisque l'on a

il est clair que les transformations linéaires qui laisseront invariables !p*(x) ou <]>*(':), laissant aussi X^'i'^) invariable, auront toujours des symboles de la forme

/...,-: -I- 2 ni, > T 4- 2^2, ' ■ ' * )'

mais comme les transformations de la forme (t+2w) n'altèrent

ni cd^(t) ni «^^(t), et que les transformations de la forme ( — - j

échangent ces deux fonctions, on voit que si la transformation ne change pas «P^(t) ou ^^(t), son symbole devra contenir le terme

un nombre pair de fois. Il suit de là que toutes les transformations cherchées résultent de la composition de transformations ayant des symboles de la forme

(z-him), ( — -5 i-\-9.n, — -)•

On reconnaît sans peine, en répétant le raisonnement du n° 194, que la dernière transformation s'obtient en répétant n fois l'une ou l'autre des deux transformations inverses

suivant que n est positif ou négatif.

Les transformations qui n'altèrent pas les fonctions ^^('t), di^(^) pourront donc être représentées par des symboles où figureront, n'importe dans quel ordre, des termes de la forme

197. Les deux dernières transformations n'altèrent pas la fonction <p(t), tandis que l'effet de la première est de reproduire cette fonction multipliée par y/t". Si donc on veut avoir une transformation linéaire qui n'altère pas ^(t), il faudra la constituer de la même manière, avec cette condition, que la somme des nombres n qui figurent dans les termes de la forme T-f-2Ai soit divisible par 8. On reconnaît, au contraire, que les symboles des transformations qui laissent ^{"z) invariable peuvent contenir des termes de la forme x-\-in en nombre arbitraire; mais que le nombre

des termes de la forme — ^ — j diminué du nombre des termes de