VIII. — Transformation d'ordre impair des fonctions 2r

254. Dans l'étude de la transformation des fonctions ^7, nous n'avons envisagé jusqu'ici que les cas où l'ordre de la transformation est égal à I, à 2 ou à une puissance entière de 2. Nous allons étudier maintenant les transformations dont l'ordre est impair et positif, transformations qui se ramènent (n° 130) à celles

où l'on change lOi en — i sans changer (03, ce qui revient à changer

ç en nu et t en n-z, à celles où l'on chan^^e Wq en — sans chan-

ger co, , ce qui revient à changer seulement x en -> et aux transformations inverses.

En combinant les formules de transformation que nous obtien-

drons ainsi (') entre elles et avec les formules de transformation linéaire et quadratique des fonctions 2r, on peut obtenir en effet, d'après le théorème démontré au n° 131, les formules de transformation d'un ordre quelconque positif (ô. Il n'y a d'ailleurs pas lieu de considérer celles dont l'ordre est négatif, car nous avons supposé essentiellement (n° loi) que les coefficients des parties

imaginaires des rapports — et ^ des péi'iodes à l'aide desquelles

on forme les fonctions 2r(<^) sont positifs.

25o. Nous allons donc chercher à exprimer, d'une part, les fonctions .^(«p]wt), d'autre part, les fonctions ^(ç\-] au

moyen des fonctions 3(p | t).

Nous désignerons, comme nous l'avons déjà fait à propos des fonctions ciii, o'a'^) par de petites capitales les constantes relatives aux fonctions rf^/f ^,103), ciai^ — ' ojgj et .^(«p ] /it). Ainsi, nous poserons dans ce paragraphe

(Lli) / v = i

Les quantités Q, Qo, Qi, Q2, Qs sont d'ailleurs liées par les mêmes relations algébriques que les quantités q, q^, qt, q-ij qz- Nous poserons aussi, pour abréger,

% (o) ^ L ^ Ji ^3 J n^'i(ojj^) i ^ '^QSQV

2Wi ai a>i "^ ' 2(«i Al wi ** '

^■2(0) = — ='i.gigoq'*, :7.,{o\n'z) =---=2QfQoQS

%(o) =~==glgo, %(o\nz) =-L = Q|Q„

Mo) ^~=glgo, 2^4(0 Inx) =-L^Q2Q„,

(') Il suffirait même de ne considérer que le cas où l'ordre de la transformalion est un nombre premier impair; mais cette restriction n'apporterait aucune simplification aux formules que nous allons établir.

V=:oo

. qnil.^—

ce qui permet d'écrire comme il suit les formules (XXXIII, 4), qui relient les fonctions a" aux fonctions 2r, et celles que l'on en

déduit en chanoeant w, en — :

Y), H* , , \ na,n^

■«Il «' / I \ «H, h'

En substituant ces dernières formules dans celles (XXVI, ) qui expriment les fonctions dia — ? togl, rfaf ?^ — > 0)3 U au moyen des fonctions du^ dr^u^ nous aurons immédiatement

Aa+iSTa+iCwt-j reT) = e^aa+i2ra+i(t')JJ[

OÙ /'doit prendre /i — i valeurs entières dont aucune ne soit divisible par /i, non plus que la différence de deux quelconques d^entre elles, et où » représente l'expression

En se i-eportant à la valeur de h, (XXI5), on voit de suite que cette expression est nulle. On a donc finalement

;îa-..l^+^

Les constantes -r^^ sont des fonctions de q. Il en est de même

Aa+i ^

des produits

n^-frO^n^-^^'"^)

qui figurent en dénominateur. On peut évaluer chacun de ces quatre produits en supposant que ;• parcoure seulement la moitié des valeurs qu'il doit prendre, c'est-à-dire, d'une façon précise,