XLIX

Observons aussi qu'eu changeant t en - dans les formules précédentes, on en tire

Hï)-

2CpHT)

l-T-Cp^(x)'

251. Enfin les résultats précédents permettent encore de ramener les fonctions cp, -j/, 7 à la seule fonction h.

Dans la formule Qo = (JoÇs: changeons t en i -t- t et désignons par Qg ce que devient le premier membre; comme qo ne change manifestement pas, et que Çi se transforme en q-2, on aura

Qo = goÇi-

Soit aussi

iq'

on aura

d'où, en se reportant aux expressions de h.(2'z) = q*^ Ço Çt,

h.(-\ = q'-''qoq3 et aux définitions des fonctions ©(t), ^{'^)y

^(t), on trouve de suite

l-nr. h(2T)

(XLIXg)

, 6/- 12/-. ht-c)

Nous nous contenterons d'observer ('), relativement à ces formules, qu'elles permettent de déduire les formules de transformation linéaire des fonctions modulaires cp(T), ^(t), fi^)-, de celles que nous avons établies pour 1i(t). On obtient ainsi, dans les six cas du Tableau (XXg), des formules équivalentes aux formules (XLVIj.o), mais affectant une forme différente.

. Les formules

ri= e

TTC' u / \.

(XLIXg)

qui expriment q^^ ^,, ^g; ^3 en fonction de t, se déduisent immédiatement des formules de définition des fonctions /i(t), o('),

•i>(T), y(T) et des formules (XLIXg).

253. En combinant les transformations de Landen et de Gauss, on obtient les expressions de .2r, (2^), S^a^i (at^) au moyen des fonctions 3r(t^).

La première des formules (XLVII3), par exemple, peut s'écrire,

(') Cette intéressante remarque est due à M. Dedekind : Ueber die Théorie der elliptischen Modulfunctionen {Journal de Crelle, t. LVIII, p. 283). Dans les Elliptische Functioneti de M. Weber, les résultats sont donnés pour les fonctions

en changeant t en ->

2ri(2i^lT) =

HM>Ml)

mais, d'après la formule (XLVIII3), on a

^ih'

Hl)=

Sr, o

donc, comme, d'après la formule (XLVni4), on peut remplacer

^1(0 - ) par le produit 2 2r2(o | t) 213(0 | t), on obtient la relation

On a de même