Pour évaUier les produits
rv:i\ 1 rm
reportons-nous aux formules (XXXIlj.g 6,-^), et remplaçons-v z = e"^' par
on aura immédiatement
Zr— Z,
puis
II II('-'7''-')(^-5''"-^r^)
d'ailleurs, si l'on pose
2TCi
on aura
et le produit
JJ(,5,2ve/-)(,^2ve-r)
est égal à
I — q^'' comme on le voit en se rappelant que les nombres
^1) f-2y •••) f^n — Xi — ''15 — ''2> •••> — '"/! — D 2 ~2~'
n'étant point divisibles par «, non plus que la différence de deux quelconques d'entre eux, sont congrus (mod. n), dans un certain ordre, aux nombres i, 2, . . . , n — i, et que l'on a, e étant une racine primitive /i"«""= de l'unité,
On peut donc écrire
et, de même,
T. et M. - II.
l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Quant aux produits
ils s'évaluent sans peine comme il suit. D'abord le signe du premier dépend du nombre de facteurs négatifs qui y figurent : or
sin — est positif ou négatif, suivant que la partie entière E(— ) de -1 définie par les conditions précises
est un nombre pair ou impair; le signe du premier produit sera donc celui de
De même, puisque l'on a
rit . n -h "2 1' cos — = sin
n 'xn
le signe du second produit sera celui de
(- iV D'ailleurs les nombres
étant certainement congrus, dans un certain ordre, suivant le module n, aux nombres
les nombres
ri, r^, . . . , /•„!
LES FONCTIONS S. l3l
sont certainement congrus, dans un certain ordre, aux nombres
en
sorte
que
l'on a C)
sin — = n
sfn
± 1 1 cos
riz n
V7t COS =
(') Voici l'un des procédés qui conduisent à ces résultats : L'équation
a pour racines les 2/1 — 2 valeurs de
Xf, = e "^ , (A- = I, 2, ...,« — I, — 1,-2, — rt + i).
On a d'ailleurs
. Ant I XI. — 1
et, en remarquant que 1 1 ^jt est égal à i, on en conclut
,- o-'îï 1.'-' = n >- '^ = «^îî'e; - ■)••
Or si, dans l'équation proposée, on fait
X' = i -h u, on forme l'équation en u
(1 + m)'^'+ (iH- m)"-= + ...+ I — 0,
dont les racines, qui ne sont autres que les valeurs distinctes de x\ — i, ont pour produit (— i)"-'/î. On en conclut
. vt: n
sin — = ->
l32 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On en conclut d'abord
