LIO

SE(r) „^ n-J

ir)

^''rO-ï.' ^'^

;• = /-i, rj, ..., r„,\ (•)

puisque les deux membres sont évidemment positifs. On en déduit

sin — — -^ — -■ n "— 1

On trouve de même

VTC I COS = — ;•

(') La première de ces formules donne un résultat assez intéressant en supposant n = 3, ;• = I, à savoir :

(n+0 sin

. ( an + i)Tt

et, en réunissant les termes où n est de l'une des formes 3p, 3p -h i, 3/> + 2,

Q^ — V ( iyg'p(.'P+*) — ^^ (— l)f ^('j'+')('P+'), p = 0 p=:0

enfin, en remplaçant ^ par x^ ,

" = °° "~°° r nfSn — 1) /i (3/1 + 1)1

= I — a; — .r' + a;5+a;'— a;"— a;"-H — Cette identité est due à Euler.

LES FONCTIONS 3r. |33

257. Les mêmes formules s'appliqueraient aussi aux nombres i\^^^ ^«+35 • • -i ''/i i) qu'il faut adjoindre aux nombres

7, , /'2, . . . , /'„! pour former la suite complète /'i , /'2, . . . , /*„, .

En supposant la première égalité LIo écrite pour ces valeurs de /• et en multipliant membre à membre avec cette même égalité, on trouve

On a aussi, pour les mêmes valeurs de r, D'ailleurs, on voit tout de suite que les différences

ne changent pas quand on remplace les nombres r par d'autres qui leur soient respectivement congrus suivant le module n, puisque les différences

\n / n \ in J n

ne changent pas quand on augmente r de n. D'autre part, si l'on prend pour les nombres /• les nombres

les deux différences que l'on s'est proposé d'évaluer sont respectivement égales à

quantités E f - j > E ( — \ sont, en effet, nulles pour toutes

l34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ces valeurs de r, sauf la première, qvii, pour les valeurs négatives de /•, est égale à ^ — ^ i. On a donc finalement, en remarquant que

les nombres ^^, ^ — sont en même temps pairs ou impairs,