V. — Transformation d'ordre n des fonctions elliptiques

335. Arrivons maintenant au cas où l'on divise l'une des demipériodes, w, par exemple, par un nombre impair n.

Nous désignerons, comme au n" 136, les constantes relatives

aux fonctions jd f w — ? (O;, ), (j ( m — ^ W3J par de petites capitales; ainsi

Ei-f- E2-I- E3= o,

/to, I to, \

VK,— E3 = ^30 ( i-W3 JW3I,

/ei — E3

2l4 CALCUL DIFFÉKKMIEL.

d'après les formules (XXXVI ,), on a donc

i/ei — E9 = n -^ Er? (o I nx),

V'Kj— Ez=: — n .-51(0 ] nz),

v/ki — E3= n— ^&|(o|nx).

Nous poserons aussi

y/Ei — Es

En outre, /, /' désigneront les quantités qui remplacent k, k', savoir :

v/e,— E, ^ 3r|(o|nx)

(LXXXVI) { _____

,, \/ei — E, Sr|(o[nT)

et L, L' les quantités qui remplacent K, K', savoir :

(LXXXVI

(7) L-^L=I.3/eT=T3=<Ï:^K-:^'.

v/ei

Dans tous les cas où K, K'et n ne changent pas de valeur dans une même recherche, nous représenterons par une lettre unique

l'expression

OÙ r et r' désignent des entiers quelconques; nous poserons

de sorte que les symboles ar^O) <^o,r, qui seront d'un usage fréquent dans ce paragraphe, représenteront les deux quantités

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS j ET DES FONCTIONS 3r. 2l5

Cette notation permet de réduire notablement la place que prennent les formules.

336. En se reportant aux formules (XXVI,) on aura par de simples divisions

^.tU3)=:30.»n-