LXXXV
(^) en 2K — ( 3 ) i\n 'lu =
I — k'^ sii^ u
cn^u — sn^ u dn^u
I — A- sn*a
dn2 u — k- «n^ u cn^ u
I — A"2 sn*«
cl ces formules coïncident avec celles que l'on obtient en faisant o = u dans les formules (LXXIII|3).
La formule (LXVJI7) permet ensuite d'obtenir l'expression de ])('>. a) en fonction de p{ii)' On a d'abord
p(-iU)= f>3
[(pf/ — g3)3— (ei — g3)(e, — e.,)]2 p'^u
puis, après quelques réductions faciles>eposant sur l'emploi des formules (VII),
p^ii
•igiPii
pUi
rM2 CALCUL DIFFÉKEMIEL.
On aurait pu, tout aussi bien, déduire cette formule en combinant les deux formules (XXII3) et (XXIV3).
334. Après avoir remplacé u par - dans ces formules, on en tire, par des combinaisons faciles, les relations
I — cnii
~ I -+- dnw'
cn2 -
dn M + en M 1 -h d n if
k''^ + dn M -H X:2 en u
•X I -I- dn u
dont les deux dernières résultent d'ailleurs immédiatement de la
première et des expressions de en- - > dn- - au moyen de sn* - • ^ . '- 2 2 "^ 2
L'usage de ces formules est évident; en y supposant successivement M = K, u^ t K.', on obtient
oK 1
sn2
cn2 - = ,
en^
dn2 - = k\
dn* — -
En se plaçant d'abord dans le cas où -j K, K' sont des nombres
réels et positifs, et en se reportant à ce que l'on a dit aux n°* 31 1- 312 sur les valeurs de snw, cn^/, dnu quand u est réel ou purement imaginaire, on voit que l'on a, dans tous les cas.
iK'
sn
iK'
en — -
, iK'
dn —
~ fk
en — -
dn — = •2
Si d'ailleurs on adopte les conventions du n" 325, on voit immédiatement que les deux membres de chacune de ces égalités sont des fonctions analytiques univoques de t, et que, par conséquent, ces égalités subsistent toutes pour les valeurs de z repré-
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 3* ET DES FONCTIONS ^. 2l3
sentées par des points situés au-dessus de l'axe des quantités réelles.
On pourrait opérer de même pour obtenir les valeurs des fonctions sn, en, dn quand l'argument est égal à ; mais, pour
éviter des discussions de signes concernant les radicaux, il est plus
simple de déduire ces valeurs des formules d'addition (LXXIII),
en supposant « = —,« = — ; bn trouve ainsi
K-+-tK' Ji^k' n-Xr + tA' i / / y . , r\
la dernière transformation résulte des égalités
1 + A- -i- ik' = v/i -H A ( v/i -r- A- -+- t / 1 — A ) , I -4- A H- A' = y/â v/n- A v/i-i- A'.
On trouve de la même façon
K -^ iK' en
Hn
K + iK'
/A([ + A-t-A') \/A' v^ih- a- f I -+- A' — f'A)
s/is/k
= —pz (/n- A'— fV> — ^')-
