CALCUL DIFFÉRENTIEL. — LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 3', ETC

(i/Â-)'* Al sn2a;.,o

de sorte que, pour chaque enlier positif impair donné «, nous connaissons n -\- i solutions rationnelles de l'équation différentielle précédente.

La quantité t ne ligure pas explicitement dans cette équation différentielle. On a annoncé, au n" 338, que / et M sont des fonctions algébriques de k\ la même assertion s'applique aux quantités \^ M et aux quantités \mi J^mi en sorte que l'on peut dire que l'équation différentielle

dy dx

doit être aussi bien vérifiée identiquement en x et quelle que soit la quantité A", à condition que l'on prenne pour / et M des fonctions algébriques convenables de k. D'ailleurs, les n + i solutions rationnelles de cette équation différentielle, solutions dont on vient d'indiquer la formation, dépendent manifestement de l'entier positif n.

Le lecteur ne peut manquer de pressentir l'importance du sujet que nous ne faisons qu'effleurer ici et sur lequel nous reviendrons plus tard.

FORMULES

(i) simiM = TTit I I

(2) 7:cot7ri<= ^ +2

(5) 7 < 1 > = •7rrcot7r(M 4- a) — colital.

u \ —"— ) sin7r(« + a) n — a J \ sinTra '

(i) tfa ~ i* I I

(2) !;(w) = - -logo-w = -+V — ' — H - + -^ ,

' du ^ u A^ [u — s s s^S

o'C— «) = — c'a, p(— «) = pM,

(1) ^(Xji I Xtui, Xtoa) = X (T ( w I 0)1, W3),

(2) Ç(XM|XtOi, Xo>3) = v- Ç(m 1^1,0)3),

(3)' p(Xa|Xw,,Xw3) = ^p(« |a),, 0)3),

(4) p(«'(XM|Xa)i,Xa)3)= ^,J:^p(«)(M 10)1,0)3).

FORMULES. 235

(3) pu=-^^-^3u^-^ 7v-^^"'2- I^^---'

(2) ^(M-i-a)— ^<x + Mpa— 7) H ; r^ i,

(3) p(u + a)-pa:=;2]i(« + a-.)2-(^47)^j-

YI.

(1) < ^(M-f-awj) =— e2ri.("+wj) (j-^^ ( ^(it-hacos) = — e2"l3(«+w3)3'y^

(2) ^{U -h 2WWi4- 2/10)3) = ( — lynn+m+n gHm-qi+inrij) iu+mWi+nw,) ^ u ^

(3) Ç(w-+-2ma)i + 2reW3) = (^«-H2m7]i4-2/l7]3, Çwi=r,i, CW2 = '32, ^^3 = 7)3,

71i4-r^2H-Tl3 =0 (5) p(«-i-2mwi + 2na)3) = pM,

. ( p'(M-i- 2mwi4- 2/1^3) =p'a,

(pWl=0, p 0)2=0, p 0)3=0.

Dans toutes les formules qui suivent, a. p, y sont les trois nombres i, ^

•X, 3 rangés dans un ordre quelconque. %

(i) pu — pa =

cf(u A- a)<j{u — a)

/ S{u -^ a)':f{u — a)<:f(b -{- c)'3'{b — c) (2) ' -Jr a'{u-h b)<:>'(u — h)a'(c-ha)iï (c — a)

I 1 p'u^zp'a

) ^^ ' ^^ ' ^ ipu — pa

l''^^ ^ "^ -x duypu — pa \

( Cl -+- 62 -i- ^3 = O,

(5) p'2it = 4(p« — ei)(pM — e2)(pu — 63),

^2 = — 4(6162-1-^263+6361) = 2(ef + el-l- e|)

= I2 6|— 4(6a— ep)(6a— ey)=4(e|— 6p6y), ^3 = 4616263.

(8) p"'m = \ipup' u

aa±a),) = c«±^a+^-j'::^^^

, ^ , («a— ep)(6a— 6y)

p(M±(0a) = 6aH „„g

(1) a-fxti; g, g) = X o-Cm; ^2, ^3),

(2) ^(Xu; g'f^)= yC(";^2, ^3),

(3) p(x«; f|'f^)=)JiP(«;^2, ^3),

(4) P<«^(x«; fJ'g)=x^2P'"n«;^2, ^3).

FORMULES

Ci)

' « = Il —

giU^

glu^

i gi u^ gzu^

Il 22.3.5 22.5.7 2^.3.5'.

gtu"- 22.5

■^ — 2 COi . ~U

liu — e^w, . sin

IZ 2C0i

Wi .

, , ^ r.i?^ - Tiff ~ V^' U u — 2/ta»3 Atwa (2) r^/ = -^ — -H -cot -H ■> {coti: ^-T-cot-

Wl 2C0i 20)1 20)1 .^d ( 20)) Wj

Wi 40)ï ^ . ,

«A — 2/iO)i

b .^^ . „ ntoj I „ = i Sin2-r; I 0)1 J

„ = i sin2- I

Tf),0J3 — rj30)i =±- f.

e-^aM^Tw -t- O)^) e"1a"c;'({0,(— m) ,« = — = — =^ 3'a(— ?0,

'(2J<) = 2 jif O'i a J2" ^3'* — — P" 3'^«,

pM — ea =

tf^a

(6) /ep ea = -—

(i) CJ'(o) = o, CaWa^o, C^w^ = - e-iOa«? ^^-' ,

a* ( M + 2 tOa) = — e2Y)a(M+Wa) c-^ ^

(2) y a'(i« + 2mwc( H- 2no)p+ artoy)

3'a(«-!-2/nwa+2na)o+2/'a)Y)

:— / lyir+rm+mn+m g2(7«Y]a+«r)3+nr)Y) Uf+/«Wa+«W3+rWv) o'^W,

rf ( « zh coa) = ± e-"1a« tf tOot c'a i< ,

(3) 3'a(iir^o)a) = =pe^0a«-^^-— i o-w,

(4) ^(^t + 2Wa) = C«<-f-2-ria, Ça(î* + 2a)a) = Ça« + 2ï)a, ^a(« + ato;^) = Ça" + ar^fj,

(5) ?(«±wa) = Ca«<±^a, Ça(" == "a) ::= Çw =t /ja, ?a(« ± wp) = ?Y « ± ^ifi,

(l) y/e^j— gp = — <3-Vl?Wa

tfOiot s'en)»

y/ea — eg ,

(2) e-^aM3-Y],3(o^ ^ t^, y/e^e^e^g -=^e e^/e ggj,

v/ep - ea "^ '^

!si la partit , ,, t ^ réelle de — w, ..,, ^ - . - », , -. -. , -. -o, , -. -. - , -. -, ^ est positive

(i) crâa — crpif = (^p — ea)a'n<,

(2) ( ey — ep ) c'a " + (^a — «'r) ^p " -^ ( ^p — ^a) ^y « = <>•

FORMULES. 289

(i) a'(« -4- a) a'(w — «) = o'^ w ja« — o'awcî'^rt,

(2) (î'a(« -+- «) 3'a(i* — «) = Ci^ifO'àa — (e^— ep)(ea— <?y)3'^" 3'2«,

(3) (^aC" -1- «) '3'a(« — a) — z^iua'^^a — (e^ — eg) cf^a(^yU,

(4) a'a(M + «)<3'(K — a) = !j u tjaiU ijoa c^^a — s'a c'a « (3'g?f o'yK,

(5) a'y(M-r- a) ^bC" — <^) — c'y a s'a i< l'y or s'a a -t- (eo — ey)3'j<3'(3(M3'aa'aa.

(0 P r = P" -*- /p« — ep v/p« — ey + v/pf* — «Y /P^ — «a -+- /p" — e» \/p«< — «p, (2) p— = ea+ y/^a— e^V^^a— «y.

(,) o-aw^e 2°- lli I — ] e*-'^» 2(*--toai-

'* '•• ' 40)1 I ^ nws

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