Si l'on pose

snu = x, sn (;^7' ^ ) =r.

on a

du -\/i'-^')i'-^'^')^

'^ = /(i-7-^)(t--XW et, par conséquent,

Cette équation différentielle est donc vérifiée identiquement en X, quel que soit t, si l'on y remplace y par la fonction rationnelle de ^, que l'on obtient en faisant snu^o) dans le second membre de la formule (LXXXIX4) et "k, M par les expressions

(LXXXVIIl3,5).

Observons aussi que si l'on change x en t + 2m, où m désigne

un nombre entier quelconque, q ne change pas, tandis que q" de-

vient e " q"'^ k- = 'f^(T), k'= <}''(t) ne changent pas, non plus que K = - 2^3(0 I t) ; iK' ^ tK est remplacée par (r -h im)K — iK'-h -imK,

{') Comparez Abel, Œuvres, t. I, p. 3i8.

de sorte que «[j.,v devient a^i^^m^v] s/^' = ^{'^) est remplacée par <P(t+ a) = \/i[/k; les quantités )v, A, TÏ/sont remplacées par A,„,

Am^ Mm, OÙ

STo ( O

T -+- 2 ni

A;,j= -Sr| ( o nK

La substitution de - + 2m à t change d'ailleurs les seconds membres des relations (LXXXVIIIs^s), et l'on a

/x-=.«,.(/ï)"na^

en a^rn.r

(r = ri, 7-2, ..., /-«-i).

La relation (LXXXIX4) est remplacée par la suivante

'°'jE'^'

V,- sn tt

sn^«2/w,;-

I — /i^ sii2a2m,r sn^it

puisque le changement de x en t + 2 (qui change A" en — k) n'altère pas

sn( ii, /c) = -

Mais, si l'on pose

on a

= \/{i-yfn)ii-'^krJn)

et, par conséquent,

dy,n dx

Ainsi, si l'on se donne un entier positif impair quelconque /*, l'équation différentielle

dy dx

est vérifiée identiquement en x^ si l'on y remplace y par une quelconque des n fonctions de x, que l'on obtient en donnant à m les valeurs o, i, . . ., « — i, dans le second membre de l'équation

0C TT^ Sn''a2/M,r

et y//, M par les expressions