IV. — Fonctions doublement périodiques de troisième espèce

375. En faisant un pas de plus dans la voie que nous venons de suivre, nous sommes amenés à étudier les fonctions que M. Herraile a désignées sous le nom de fonctions doublement périodiques de troisième espèce; c'est à ce type qu'appartiennent les fonctions (3'm, (S'a"? ^i^)' Les fonctions de troisième espèce sont définies, en général, comme étant univoques, comme n'admettant aucune autre singularité à distance finie que des pôles, et enfin comme satisfaisant aux équations fonctionnelles

W(m -4- 2U)i) = eMi"-^N, \f;(u)y ^'(m -h 2(03) = eM«"-»->'«^(a),

M|, N|, M3, N3 étant des constantes. Ici encore, il est clair que les pôles et les zéros de la fonction ^(u) devront se reproduire périodiquement.

376. Les constantes M|, N|, M3, N3 ne peuvent être choisies arbitrairement; en effet (*), les équations précédentes entraînent celles-ci :

xy^u-^'ibii -4-20)3) = e^^i-*-^'^^'-*-^^^*^*-^^t-^^»W{u) et ces dernières exigent que Ton ait

MlCOs — 3130)1 = A TTl,

en désignant par h un entier positif, nul ou négatif.

Dans l'expression de ^(w-haw, 4-2W3), remplaçons u par w -h 2 0)2 et résolvons par rapport à W(u -\- '2<ù2) ] en tenant

{*) C'est le même raisonnement qu'au n* 92.

compte de la relation a)< + Wa -f- CO3 = o, nous aurons

d'où Ton conclut qu'on peut écrire en définissant Ma et N2 par les égalités

Ml -f-Mj-h Ms = o, Ni -H Ni -h N3 — Mitoi — Mi(Us — M3tU3 = {ih'-h h)T,l.

La seconde égalité, où h' désigne un entier quelconque, résulte aisément de ce que Ton a

— •2(Mi -h M3) Wj — 2M3t0i — (MiWi -h MjWj-f- MsWa) = Mi W., — M3W1.

Ainsi, les six constantes Mi, M2, M3, Ni, N2, N3 satisfaisant aux relations précédentes, on pourra remplacer les deux équations fonctionnelles qui définissent la fonction ^(w) par les trois équations

Nous conservons aux quantités e*'«"-^''*« le nom de mullipUcateursj déjà employé pour les fonctions de seconde espèce.

377. Le produit ou le quotient de deux fonctions de troisième espèce est aussi une fonction de troisième espèce; les multiplicateurs de la fonction ainsi engendrée sont les produits ou les quotients des multiplicateurs correspondants des fonctions primitives. Lorsque le premier multiplicateur e"i"-*-^i est égal à i, la fonction est dite réduite ^

Une exponentielle de la forme e^"'-+-BM+c^ oùA,B, C sont des constantes, est une fonction de troisième espèce; on peut disposer de A, B de façon que le multiplicateur de cette fonction relatif à la période 2(0i soit précisément e^*"'^^' , Mi et Ni étant donnés. Dès lors, étant donnée une fonction de troisième espèce, on peut la réduire, en la multipliant par une exponentielle de la forme précédente. Inversement, toute fonction de troisième espèce peut se déduire d'une fonction réduite, par le môme procédé.

378. Dans une fonction réduite de troisième espèce, on peut supposer nuls M| et N| ; M3 se déduit alors de la relation

et la fonction doit vériûer les équations fonctionnelles