A ICI

Observons que la constante N3 n'a pas grand intérêt; si,- en effet, dans les équations précédentes, on change u en u + C, en désignant par C une constante quelconque, puis que Ton désigne par Wi (u) la fonction W{u + C), on voit que la fonction Wi (u) vérifie les équations

ce sont les mêmes équations que vérifie V(w), si ce n'est que Nj est diminué de : d'ailleurs, connaissant la fonction Wi(u),

on connaîtra la fonction W(u) = Wi (u — C). On peut donc supposer que Ns ait telle valeur que l'on voudra, par exemple la valeur o, ou la valeur -> Dans ce dernier cas, les équations

fonctionnelles qui déterminent la fonction ^( w) prennent la forme

Ainsi la recherche des fonctions de troisième espèce se ramène à celle de la solution la plus générale de ces équations fonctionnelles.

379. Avant d'aborder cette recherche, nous allons établir, pour les fonctions de troisième espèce W{u)^ à multiplicateurs quelconques, deux relations concernant l'une la différence entre le nombre des zéros et celui des pôles, l'autre la différence entre la somme des zéros et celle des pôles, analogues à celles qui concernent les fonctions de première et de seconde espèce.

Appliquons d'abord l'égalité fondamentale du n" 352 à la fonction

Puisque la fonction ^{u) n'admet pas d'autre singularité à dislance finie que des pôles, le nombre de pôles ou de zéros de cette fonction contenus dans le parallélogramme des périodes sera nécessairement fini. Désignons par «i, «a, . . ., a^ d'une part, par 6|, 62» • . -, 6p d'autre part, les pôles et les zéros contenus à l'intérieur du parallélogramme autour duquel on effectue l'intégration, chaque pôle ou chaque zéro étant répété exactement autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité; la somme des résidus de la fonction F(«), à l'intérieur du parallélogramme, sera p — v.

Le calcul du premier membre de l'égalité fondamentale pour

F(w)=— — ^ est immédiat; on trouve 2(M,(03 — MaWi). On a

donc

2(MiWj— MsO)!) = 'nzi{p — v),

en sorte que le nombre entier que nous avons désigné plus haut par A n'est autre que l'excès du nombre de zéros sur le nombre de pôles.