On peut mettre A sous la forme

r^ et 7*2 sont positifs et plus petits que — .; il en résulte que dans

l'une et l'autre des séries chaque terme est positif; r2 étant plus grand que ri, on conçoit que A soit négatif, et c'est un point que Halphen a établi par une analyse intéressante que, toutefois, nous ne reproduirons pas en raison de sa complication (*). Chacune des séries regardées comme une fonction soit de ri, soit de r^, la

variable étant supposée comprise entre o et — .j est une fonction

croissante : cela est évident pour chaque terme de la première et se vérifie sans peine pour chaque terme de la seconde; il résulte de cette remarque que l'on a

(') Après Halphen, M. de Saint-Germain a obtenu le même résultat sans fair« usage des fonctions elliptiques; il a^ en cfTet, montré [Cf. I^ote sur le pendule sphérique (Bulletin des Sciences mathématiques, 2* sér., t. XX, p. ii4)] que l'angle dont a tourné le plan MOz autour de Oz quand t croit de o à Uj est plus

petit que 1:; on va voir que cet angle est égal à — -+- a; de sa démonstration ré-

suite donc immédiatement que a est négatif.

mais on a

on en conclut