En posant

V = » iri = , - -h «ri = y

de façon que les quantités réelles /'i, r-2 soient positives et plus petites que A> les formules de passage des fonctions cS* aux fonclions Et fournissent immédiatement les formules

où l'on a posé, pour abréger,

( ' ) Voir Greenhill, Les Fonctions elliptiques et leurs applications, trad. par Griess, Chap. III; voir aussi, pour le cas où oc = i, le Traité de Mécanique rationnelle de M. A.PPELL, t. I, p. 494»

APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ET A LA MÉCANIQUE. l85

On peut faire sur ces expressions de .3 — a et de a: -j- iy^ qui spécifient le mouvement du point x^y^ z et qui sont appropriées au calcul numérique quand on se donne les éléments numériques du problème, quelques observations faciles qui se feraient d'ailleurs tout aussi bien, le lecteur ne l'ignore pas^ sur les équations différentielles du mouvement.

L'expression de 5 — a montre que les valeurs de z se reproduisent quand on remplace v par sf-\-\\ dans les mêmes conditions ^ + «y se reproduit multiplié par le facteur e'^, ainsi qu'il résulte des formules (XXXIV) ou de ce que l'on vient de dire sur le caractère de la fonction x -^ iy\ lorsqu'on a la position M du mobile à l'instant t^ il suffit donc, pour obtenir sa position à Tinstant ^-f-2(0|, défaire tourner le plan M0.3 d'un angle égala A autour de l'axe Oz; la périodicité du mouvement est ainsi bien mise en évidence et il est clair qu'il suffira d'étudier le mouvement de / = o à ^ = 2C0|. Il suffit même de l'étudier de ^ = o à / = a}|, car à deux valeurs de t également éloignées de C0| correspondent deux valeurs de v de la forme \ — ^^j ï H- ^^^ dont la somme est égale à i, et, par suite, les valeurs de z que l'on obtient sont manifestement égales, tandis que les valeurs de j; + ry s'obtiennent en multipliant un même nombre

par deux nombres imaginaires conjugués

les deux positions correspondantes du mobile sont donc symétriques par rapport au plan qui passe par l'axe des z et la position M| que le mobile occupe à l'instant ^ = (1),, (i; = l). Ce point Ml est la position du mobile pour laquelle z est minimum; ses coordonnées sont données par les formules

le coefficient de e ^ * '^ est manifestement positif : c'est le rajon

l86 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

vecteur r< de la projeclîon du poinl M| sur le plan des xy\ il est

facile de vérifier qu'il est égal à sj l^ — 6*.

L'expression de a: H- y^ met en évidence que Tangle polaire de la projection du point M| est, à des multiples prés de 2 7c, égal à it -}- ^A, en sorte que la courbe décrite par l'extrémité du pendule

est fermée, ou non, suivant que -A est un nombre rationnel ou

irrationnel. On verra plus loin que tî -i- ^ A est l'angle dont tourne effectivement le plan MO^ autour de l'axe O^ pendant que /croît de o à (Oi, et non cet angle augmenté d'un multiple de 2ir; mais ce qui précède suffit à montrer l'intérêt qui s'attache à la constante réelle A dont il convient de dire quelques mots.