CCI), A

et le fait que A est négatif apparaît bien facilement en se servant de la relation K<; — r, qui donne

L'intérêt de ce cas particulier consiste en ce que l'on y peut obtenir séparément les valeurs de x et de y. En remplaçant, dans l'expression de j; + iy^ ir^ par ^t — ir\ , on trouve de suite

l88 FONCTIONS ELLIPTIQC£S.

en appliquant ensuite la première formule (LVI4) et les formules (LXXI), puis en posant pour abréger

on obtient

x-\-iy = roC''^'^'^'*'[cn(2Kp)-*- îfjisn(2Kp)dn(2Ki')],

ou, puisque A et [x sont réels,

x=i ro[cos(A-*- 'ït)pcn(2Kp)— ixsin(A -h'ït)^ sn(2K(') dn(2Kp)], j' = ro[sin(A-+-T:)p cn(2Kp)-h fjLCos(A H- 'ït)psn(2Kt») dn(2Kp)].

En faisant i^ =^ dans ces formules et en se rappelant que pour cette valeur z est nul et ^x'^ -hy'^ égal à /, on trouve sans peine

et c'est ce qu'il n'est pas difficile de vérifier, d'ailleurs, sur l'expression même de [x.

666. Il nous reste à étudier, dans le cas général, la façon dont Ô varie avec t. De l'expression dee^*® donnée au n° 661, on déduit aisément, au moyen des formules de passage des fonctious 0- aux fonctions 2r, la formule

6 = Ai'-+--Ulog/(r), OÙ l'on a posé, pour abréger,

. 2r,(i>t— p)^t(i>t — i^) ^i(i>i — i^)Srt(r — i — t>,)

dans cette formule qui donne, à chaque instant ^, l'angle 6 dont a tourné le rajon vecteur dans le plan des xy^ il s'agit de fixer, pour chaque valeur de v^ la détermination du logarithme. Nous nous j airélerons d'autant plus volontiers que la même question se présente dans un très grand nombre d'applications.

Pour suivre la voie régulière qui a été indiquée au Chapitre VI et qui permet sûrement de lever toute ambiguïté, il faut tout

d'abord transformer l'expression de -r de manière qu'il n'j figure

plus que les dérivées logarithmiques de la fonction 2f^ ; on trouve alors

Sti (p — ^ — i>,) Sr, (i» — i -4- 1>,)

et pour avoir la valeur de 6, qui correspond à une valeur donnée de Vy il suffit d'effectuer les intégrales rectilignes

On observera d'abord que dans l'évaluation des logarithmes, qui résultent de l'intégration, on n'a à se préoccuper que des parties purement imaginaires; les parties réelles disparaissent évidemment dans les différences. Les quatre intégrales à évaluer peuvent être remplacées par les suivantes

— -—trt-h%* — -+-iri + «'

portent maintenant sur la quantité ^—; le problème de l'évaluation de pareilles intégrales a été complètement résolu au Chapitre VI; nous nous reporterons à la méthode exposée aux n°' 506 et suivants.

667. Supposons d'abord que v soit comJ)ris entre o et ^, c'està-dire que L soit compris, entre o et coi ; on voit alors de suite que pour les quatre intégrales le chemin d'intégration est contenu dans l'aire du rectangle (R) figuré à la page i55 du tome JII et formé par la réunion des quatre rectangles (R|), (R2)» [^z)j {^\)y C" sorte que (CXVllIi ) les quatre intégrales précédentes sont respectivement égales à

logSTi (y — «>,) — logSTi (— i>, ;, logSTi {v -f- irx ) — log^Ti (e>, ), logSr, (y—\ — ir^ ) — log^Ti (— \ — irj), logSTi (p — -J -+- «/'j) — log2ri(— ^-h !>,),

igo FONCTIONS ELLIPTIQUES.

OÙ les logarithmes ont leurs déterminations principale^, en observant toutefois que les points Sr^ ( — ^ — '^2)» ^i ( — 5 + '^a) doivent être regardés comme étant le premier sur le bord inférieur de la coupure de gauche, le second sur le bord supérieur de la même coupure, en sorte que les coefficients de i dans les logarithmes sont respectivement — tt, H-tt; ils sont et H — pour

logSr^ ( — ir^)f log&i {ir^); on aura donc, dans ce cas,

0 = Ac-h — : |logSri(p — i/'i) — log&,(p-i- iVt)

en attribuant aux logarithmes leurs déterminations principales; d^ailleurs, le point &< (r -h «>,) est situé dans l'aire (R', ), le point &! (^ — i>i ) est le point de l'aire (R4) symétriquement placé par rapport à l'axe des quantités réelles; il résulte de là que

- [log2ri(i> — 1>,) — log3r,((;-4-i>,)]

est l'angle, compris entre o et » dont il faut faire tourner le

rayon vecteur qui va de o au point STi ((^ -{- ir^ ) pour l'amener sur la partie positive de l'axe des quantités réelles; de même, puisque les points 2ft{v — ^ — «Va), â| (t» — ^4- iri) sont symétriquement placés dans les aires (R'3), (R^)» on voit que

^. [logâ. («' - i - ir.) - loga. (" - i + «>,)]

est l'angle (obtus), compris entre — ;^ et — tt, dont il faut faire

tourner le vecteur qui va du point o au point STi (r — ^ -f- i/'2) pour ramener sur la partie positive de l'axe des quantités réelles ; d'après cela, on reconnaît très aisément que Ton peut écrire

6 = At'H -9

en désignant par a et ^ deux angles positifs, moindres que 77, dont le premier s'obtient en faisant tourner dans le sens positif le vecteur qui va du point o au point 2f^ (ir^ -\- ç) pour l'amener sur le vecteur qui va du point o au point Sr^ (i>, — «;), dont le se-

cond s'obtient en faisant tourner dans le même sens le vecteur qui va du point o au point 3'i(p — ^ + '''2) ^" 3'2(^ -+" ^''2) pour ramener sur le vecteur qui va du point o au point 2fi{v — - — îr2) ou 2f2{v — '''2); on peut encore écrire, si l'on veut,

e = Ai>-+- Aiog/(i>),

en convenant de prendre le second terme du second membre compris entre o et u; il a d'ailleurs la valeur o pour r = o, et la valeur TT pour V =: ^\ pour ^ = o, a et p sont nuls; pour (; = ^, a et p sont égaux à tc. L'angle e dont le plan MO.? a tourné autour de O^, quand t varie de o à u), (c; de o à ^), est bien égal, comme

on l'a dît plus haut, à 7: H — •

De ce que A est compris entre — tt et o on conclut que e est

compris entre- et tt. C'est Puiseux qui^a, le premier, démontré

que e est toujours plus grand que -• Sa démonstration (Journal

de Liouville, i" série, t. Vil; 1842), qui est devenue classique, n'a toutefois rien à voir avec la théorie des fonctions elliptiques.

668. Nous avons exposé ces résultats en suivant pas à pas la voie indiquée au Chapitre VI; on y parvient d'une façon plus courte, en interprétant la formule même qui donne l'expression de 6 et en remarquant que 0 devant s'annuler pour f = o, log/(t') doit être nul pour i; = o et que les valeurs que prend successivement cette fonction se suivent d'une façon continue. En se reportant toujours à \^fig, i55 du Tome III, et en suivant la façon dont se déplacent dans les aires (R|), (R'a), (R's)? (R'4) les points STi (i"/'i + ^)î ^%(ir^ — ^)> ... on n'a aucune peine à retrouver les résultats précédents.

L'étude peut se poursuivre lorsque v est compris entre ^ et i, en partant de la propriété /(i — ^)f{^) = * de la fonction f{v) qui résulte immédiatement des formules (XXXIV); si l'on pose i' = j-j-wp, on devra, à cause de cette propriété, adopter, pour les valeurs de w comprises entre o et ^, une détermination de

~. log/(| -f- w) de la forme

!.. log/ (1 + ..) = A ,r - ±. log/ ( J - «.) .

iga FONCTIONS ELLIPTIQUES.

OÙ k est un nombre entier déterminé^ cet entier est, d'ailleurs, égal à 2, puisque pour ç^ = ^, «'= o, la formule précédente se réduit à log/(^ ) = ikiz et que Ton sait que \o%f{^) = 2 Itz, La symétrie du mouvement se reconnaît très aisément sur cette même formule; nous ne nous y arrêterons pas, puisqu'elle a été établie sur l'expression de a? + (y. En résumé, deç^ = ^àç^=i,ona

e=A('-+--î;. log/(i>)

si Ton convient de prendre pour le second terme du second membre celle de ses déterminations qui est comprise entre ic et 21c. Pour i^ = I , on a

6 = A-4- ~. log/(i) = A-f- 'iiî = aO;

ce dernier résultat aurait pu se déduire aisément de la formule (CXXVIII,).

Pour poursuivre cette étude lorsque v est plus grand que i , il suffirait de partir de la propriété de la fonction v exprimée par les

relations

/(p)=/(,^-p)=/(a-hi>)=/(3^-P)=...;

on peut ainsi montrer directement que quand v est successivement compris entre i et |, | et 2, 2 et |, . . . , - et > • • • > c'està-dire t entre 2(0| et 3ct)|, 3(a)| et 4^<} 4^i ^^ ^^m • • • 9 ntù^ et (/i-i-i)(i)i ..., on doit dans la formule

0 = AP H ; \0cf(v)

prendre successivement, pour le second terme du second membre, celle de ses déterminations qui est comprise entre 27c et 37c, Sr et4'«^î ^Tz et 5t^^ .. ., mz et {n -\- i)tz^ ....

§ VI. — Mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe dans le cas où il n'y a pas de force extérieure.

669. Nous allons étudier le mouvement d'un corps solide dont un point O est fixe et qui n'est soumis à aucune force autre que la réaction du point fixe. Nous renvoyons, pour ce qui concerne la partie mécanique du problème et l'établissement des équations

dlfTérentielles du mouvemenl, aux divers Traités de Mécanique rationnelle, particulièrement à la Note de M. Darboux sur les mouvements à la Poinsot, qui se trouve dans le Traité de Despeyrous; nous emprunterons à cette Note nos notations, d'une part, et, d'autre part, l'équation différentielle de Therpolodie.

Le corps solide est rapporté à un système de coordonnées rectangulaires Oxyz qu'il entraîne avec lui et que l'on supposera coïncider avec les axes principaux d'inertie relatifs au point O. Le problème final consiste à déterminer à chaque instant la position du trièdre Oxyz par rapport à un systèmed'axes fixes OXYZ; il est résolu si l'on connaît, en fonction du temps t^ les trois angles d'Euler qui déterminent la position du trièdre mobile par rapport au trièdre fixe. C'est à ce résultat que nous nous attacherons (*). ' Soit (E) l'ellipsoïde d'inertie du solide pour le point O ; soit OQ le vecteur qui figure la vitesse angulaire de rotation w, vecteur dont les projections sur les axes Oar, Oy^ Oz sont /?, q^ r. Le moment des quantités de mouvement est un vecteur fixe dans l'espace dont nous désignerons la longueur par /, et dont les projections sur les axes Ox^ Oy^ Oz sont A/?, Bgr, Cr, en désignant par Â, B, C les moments d'inertie du solide par rapport à ces axes. L'ellipsoïde (E) est constamment tangent à un plan fixe (II), au point J où ce plan est percé par la demi-droite qui porte le vecteur Où; le lieu du point J dans le plan fixe (II) est l'herpolodie, le lieu du même point sur l'ellipsoïde (E) est la polodie; la polodie roule sans glisser sur l'herpolodie; le problème peut être regardé comme résolu quand ce dernier mouvement est connu. Nous laisserons de côté les cas où la polodie se décompose en deux ellipses se coupant suivant l'axe moyen de (E), ou en deux cercles parallèles, ou encore se réduit à deux points; l'herpolodie est

(*) M. Klein a employé d'autres paramètres qui donnent des résultats plus symétriques. On peut consulter, sur ce sujet, le livre qu'il a publié avec M. Sommerfield sous le titre Lieberdie Théorie des Kreisels, ou une Noie de M. Lacour dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 5* série, t. XVIII; 1899. ^^^ ^*" pressions des neuf cosinus sont dues à Jacobi {Journal de Crelle, t. 39; i85o). Les formules auxquelles nous nous bornons ont été données sous une forme à peine différente par Hermite ( Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Paris, i885). On peut aussi consulter : Halphen, Traité des fonctions elliptiques, t. II; 1888; Lindemann, Sitzungsberichte de l'Académie des Sciences de Munich, t. XXVIII; 1898, et Lacour, Annales de VÉcole Normale supérieure^ 1900.

ig4 FONCTIONS ELLIPTIQUES.

alors une spirale (dont Téquation s'obtient au moyen des fonctions élémentaires), un cercle ou un point.

Nous supposerons l^herpolodie, dans le plan (El), rapportée à un système de coordonnées polaires; le pôle sera le pied P de la perpendiculaire abaissée de O sur (II) et Taxe polaire sera la direction qui va du point P vers la position initiale Jq du point J ; nous représenterons par 8 la distance OP du point O au plan (II) : elle est évidemment comprise entre la plus petite et la plus grande des

quantités-—: > --=.> ——; nous désignerons par R8 et 6 les coor-

données polaires du point J dans le plan (II).

Les intégrales des forces vives et des aires fournissent les relations

h = A/>*-f- B^«-f- Cr», /« = A*/>« -4- B»^»-f- C«r»;

la constante des forces vives h est liée à / par la relation h = PZ^ qui se déduit immédiatement de ce que, si Xf y, z désignent les coordonnées du point J par rapport au trièdre OxyZy on a

-hR»o*

Nous introduirons enfin une constante positive [jl définie parles relations

On a alors